Упр.11.70 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- 11.70. При каких значениях аргумента график заданной показательной функции расположен выше графика заданной линейной функции:
а) $$y=3^x$$, $$y=-x+1$$;
б) $$y=0{,}5^x$$, $$y=2x+1$$;
в) $$y=5^x$$, $$y=-2x+1$$;
г) $$y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$$, $$y=x+1$$?
Для сравнения графиков найдём точки их пересечения и учтём, как ведут себя функции: показательная и линейная.
$$y=3^x,\quad y=-x+1$$
При $$x=0$$ получаем:
$$3^0=1,\qquad -0+1=1.$$
При $$x>0$$ функция $$y=3^x$$ возрастает, а $$y=-x+1$$ убывает, значит, после точки пересечения график показательной функции расположен выше.
Следовательно, $$x\in(0;+\infty).$$
$$y=0{,}5^x,\quad y=2x+1$$
При $$x=0$$:
$$0{,}5^0=1,\qquad 2\cdot 0+1=1.$$
Функция $$y=0{,}5^x$$ убывает, а $$y=2x+1$$ возрастает, значит, слева от точки пересечения график показательной функции выше.
Следовательно, $$x\in(-\infty;0).$$
$$y=5^x,\quad y=-2x+1$$
При $$x=0$$:
$$5^0=1,\qquad -2\cdot 0+1=1.$$
Функция $$y=5^x$$ возрастает, а $$y=-2x+1$$ убывает, значит, при $$x>0$$ график показательной функции расположен выше.
Следовательно, $$x\in(0;+\infty).$$
$$y=\left(\frac13\right)^x,\quad y=x+1$$
При $$x=0$$:
$$\left(\frac13\right)^0=1,\qquad 0+1=1.$$
Функция $$y=\left(\frac13\right)^x$$ убывает, а $$y=x+1$$ возрастает, значит, слева от точки пересечения график показательной функции выше.
Следовательно, $$x\in(-\infty;0).$$
Ответ: а) $$x\in(0;+\infty)$$; б) $$x\in(-\infty;0)$$; в) $$x\in(0;+\infty)$$; г) $$x\in(-\infty;0)$$.
