Упр.11.69 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$2x-1=\sqrt{x}$$;
   б) $$\frac{1}{4}x=\sqrt{x}+1$$;
   в) $$3x-1=-\sqrt{x}$$;
   г) $$\frac{1}{3}x=\sqrt{x}-\frac{2}{3}$$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

1. $$2^x-1=\sqrt{x}$$

   Проверим значения, при которых левая и правая части равны:

   при $$x=0$$ имеем $$2^0-1=0$$ и $$\sqrt{0}=0$$;

   при $$x=1$$ имеем $$2^1-1=1$$ и $$\sqrt{1}=1$$.

   Оба значения подходят.

2. $$\left(\frac14\right)^x=\sqrt{x}+1$$

   Функция $$\left(\frac14\right)^x$$ убывает, а функция $$\sqrt{x}+1$$ возрастает, значит, решение может быть только одно. Проверим $$x=0$$:

   $$\left(\frac14\right)^0=1,\qquad \sqrt{0}+1=1.$$

   Следовательно, $$x=0$$.

3. $$3^x-1=-\sqrt{x}$$

   Функция $$3^x-1$$ возрастает, а функция $$-\sqrt{x}$$ убывает, значит, решение единственно. Проверим $$x=0$$:

   $$3^0-1=0,\qquad -\sqrt{0}=0.$$

   Следовательно, $$x=0$$.

4. $$\left(\frac13\right)^x=\sqrt{x}-\frac23$$

   Функция $$\left(\frac13\right)^x$$ убывает, а функция $$\sqrt{x}-\frac23$$ возрастает, значит, решение единственно. Проверим $$x=1$$:

   $$\left(\frac13\right)^1=\frac13,\qquad \sqrt{1}-\frac23=\frac13.$$

   Следовательно, $$x=1$$.

Ответ

а) $$0,\,1$$; б) $$0$$; в) $$0$$; г) $$1$$.