Упр.11.68 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$5^{x-1}=\frac{1}{x}$$; б) $$3^{x+2}=\frac{27}{x}$$; в) $$\left(\frac{1}{2}\right)^{x+3}=-\frac{4}{x+2}$$; г) $$\left(\frac{1}{4}\right)^{x-1}=\frac{1}{2x}$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функции $$f(x)=5^{x-1}$$ и $$g(x)=\frac{1}{x}.$$

Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right).$$ Поэтому уравнение имеет единственное решение.

Проверим значение $$x=1$$:

$$5^{1-1}=5^0=1,\qquad \frac{1}{1}=1.$$

Значит, $$x=1.$$

б) Рассмотрим функции $$f(x)=3^{x+2}$$ и $$g(x)=\frac{27}{x}.$$

Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right).$$ Следовательно, решение единственно.

Проверим $$x=1$$:

$$3^{1+2}=3^3=27,\qquad \frac{27}{1}=27.$$

Значит, $$x=1.$$

в) Рассмотрим функции $$f(x)=\left(\frac12\right)^{x+3}$$ и $$g(x)=-\frac{4}{x+2}.$$

Функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ возрастает на $$(-\infty;-2).$$ Поэтому уравнение имеет единственное решение.

Проверим $$x=-4$$:

$$\left(\frac12\right)^{-4+3}=\left(\frac12\right)^{-1}=2,\qquad -\frac{4}{-4+2}=-\frac{4}{-2}=2.$$