Упр.11.66 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$2x=\frac{2}{x}$$; б) $$\frac{1}{4}x=-\frac{4}{x}$$; в) $$5x=\frac{5}{x}$$; г) $$\frac{1}{8}x=-\frac{8}{x}$$.
Рассмотрим каждое уравнение как равенство двух функций и найдём точку их пересечения.
$$2^x=\frac{2}{x}$$
Функция $$f(x)=2^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=\frac{2}{x}$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$. Значит, решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$2^1=2,\qquad \frac{2}{1}=2.$$
Следовательно, $$x=1$$.
$$\left(\frac14\right)^x=-\frac{4}{x}$$
Функция $$f(x)=\left(\frac14\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=-\frac{4}{x}$$ возрастает на $$\left(-\infty;0\right)$$. Значит, решение единственно.
Проверим $$x=-1$$:
$$\left(\frac14\right)^{-1}=4,\qquad -\frac{4}{-1}=4.$$
Следовательно, $$x=-1$$.
$$5^x=\frac{5}{x}$$
Функция $$f(x)=5^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=\frac{5}{x}$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$. Значит, решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$5^1=5,\qquad \frac{5}{1}=5.$$
Следовательно, $$x=1$$.
$$\left(\frac18\right)^x=-\frac{8}{x}$$
Функция $$f(x)=\left(\frac18\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=-\frac{8}{x}$$ возрастает на $$\left(-\infty;0\right)$$. Значит, решение единственно.
Проверим $$x=-1$$:
$$\left(\frac18\right)^{-1}=8,\qquad -\frac{8}{-1}=8.$$
Следовательно, $$x=-1$$.
Ответ: а) $$1$$; б) $$-1$$; в) $$1$$; г) $$-1$$.
