Упр.11.64 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$3x=4-x$$; б) $$\frac{1}{2}x=x+3$$; в) $$5x=6-x$$; г) $$\frac{1}{7}x=x+8$$.

Рассмотрим каждое уравнение как равенство двух функций. В каждом случае одна функция монотонно возрастает, а другая монотонно убывает, значит, уравнение имеет единственное решение. Найдём его подбором.

1. $$3^x=4-x$$

   Функция $$y=3^x$$ возрастает, а функция $$y=4-x$$ убывает. Проверим значение $$x=1$$:

   $$3^1=3,\qquad 4-1=3.$$

   Следовательно, $$x=1$$.

2. $$\left(\frac12\right)^x=x+3$$

   Функция $$y=\left(\frac12\right)^x$$ убывает, а функция $$y=x+3$$ возрастает. Проверим значение $$x=-1$$:

   $$\left(\frac12\right)^{-1}=2,\qquad -1+3=2.$$

   Следовательно, $$x=-1$$.

3. $$5^x=6-x$$

   Функция $$y=5^x$$ возрастает, а функция $$y=6-x$$ убывает. Проверим значение $$x=1$$:

   $$5^1=5,\qquad 6-1=5.$$

   Следовательно, $$x=1$$.

4. $$\left(\frac17\right)^x=x+8$$

   Функция $$y=\left(\frac17\right)^x$$ убывает, а функция $$y=x+8$$ возрастает. Проверим значение $$x=-1$$:

   $$\left(\frac17\right)^{-1}=7,\qquad -1+8=7.$$

   Следовательно, $$x=-1$$.

Ответ: а) $$1$$; б) $$-1$$; в) $$1$$; г) $$-1$$.