Упр.11.63 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$(3\sqrt{3})x \ge \sqrt{3}$$; б) $$(4\sqrt[3]{4})x \le \sqrt[3]{4}$$; в) $$(9\sqrt[3]{4})x \le 3\sqrt{3}$$; г) $$(8\sqrt[5]{4})x \ge \sqrt[3]{32}$$.
а) $$\left(3\sqrt{3}\right)^x \ge \sqrt{3}$$
Представим всё в виде степеней числа $$\sqrt{3}$$:
$$\left(\sqrt{3}\right)^{2x}\cdot \left(\sqrt{3}\right)^x \ge \left(\sqrt{3}\right)^1$$
$$\left(\sqrt{3}\right)^{3x} \ge \left(\sqrt{3}\right)^1$$
Так как основание $$\sqrt{3} > 1$$, сравниваем показатели:
$$3x \ge 1$$
$$x \ge \frac13$$
б) $$\left(4\sqrt[3]{4}\right)^x \le \sqrt[3]{4}$$
Запишем через степень числа $$\sqrt[3]{4}$$:
$$\left(\sqrt[3]{4}\right)^{3x}\cdot \left(\sqrt[3]{4}\right)^x \le \left(\sqrt[3]{4}\right)^1$$
$$\left(\sqrt[3]{4}\right)^{4x} \le \left(\sqrt[3]{4}\right)^1$$
Так как основание $$\sqrt[3]{4} > 1$$, получаем:
$$4x \le 1$$
$$x \le \frac14$$
в) $$\left(9\sqrt[3]{9}\right)^x \le 3\sqrt{3}$$
Представим всё через основание $$3$$:
$$\left(3^2\cdot 3^{2/3}\right)^x \le 3\cdot 3^{1/2}$$
$$3^{\left(2+\frac23\right)x} \le 3^{1+\frac12}$$
$$\frac{8}{3}x \le \frac32$$
$$16x \le 9$$
$$x \le \frac{9}{16}$$
г) $$\left(8\sqrt[5]{4}\right)^x \ge \sqrt[3]{32}$$
Запишем всё как степени числа $$2$$:
$$\left(2^3\cdot 2^{2/5}\right)^x \ge 2^{5/3}$$
$$2^{\left(3+\frac25\right)x} \ge 2^{5/3}$$
$$\frac{17}{5}x \ge \frac53$$
$$51x \ge 25$$
$$x \ge \frac{25}{51}$$
Ответ
а) $$x \in \left[\frac13; +\infty\right)$$; б) $$x \in \left(-\infty; \frac14\right]$$; в) $$x \in \left(-\infty; \frac{9}{16}\right]$$; г) $$x \in \left[\frac{25}{51}; +\infty\right)$$.
