Упр.11.61 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$4^x \le 64$$;
   б) $$\left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{1}{8}$$;
   в) $$5^x \ge 25$$;
   г) $$\left(\frac{2}{3}\right)^x < \frac{8}{27}$$.

Решим неравенства, используя монотонность показательной функции.

1. $$4^x \le 64$$

   Представим правую часть как степень числа $$4$$:

   $$64=4^3$$

   Тогда

   $$4^x \le 4^3$$

   Так как функция $$4^x$$ возрастает, получаем:

   $$x \le 3$$

2. $$\left(\frac12\right)^x > \frac18$$

   Представим правую часть как степень числа $$\frac12$$:

   $$\frac18=\left(\frac12\right)^3$$

   Тогда

   $$\left(\frac12\right)^x > \left(\frac12\right)^3$$

   Так как функция $$\left(\frac12\right)^x$$ убывает, знак неравенства при сравнении показателей меняется:

   $$x < 3$$

3. $$5^x \ge 25$$

   Представим правую часть как степень числа $$5$$:

   $$25=5^2$$

   Тогда

   $$5^x \ge 5^2$$

   Так как функция $$5^x$$ возрастает, получаем:

   $$x \ge 2$$

4. $$\left(\frac23\right)^x < \frac{8}{27}$$

   Представим правую часть как степень числа $$\frac23$$:

   $$\frac{8}{27}=\left(\frac23\right)^3$$

   Тогда

   $$\left(\frac23\right)^x < \left(\frac23\right)^3$$

   Так как функция $$\left(\frac23\right)^x$$ убывает, знак неравенства при сравнении показателей меняется:

   $$x > 3$$

Ответ: а) $$x \in (-\infty; 3]$$; б) $$x \in (-\infty; 3)$$; в) $$x \in [2; +\infty)$$; г) $$x \in (3; +\infty)$$.