Упр.11.60 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\left(\sqrt{2}\right)^{x+2}=\frac{1}{2}$$;
   б) $$\left(\sqrt{3}\right)^{-2x+9}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$;
   в) $$\left(\sqrt[3]{5}\right)^{6x-1}=\sqrt[6]{5}$$;
   г) $$\left(\sqrt[5]{4}\right)^{-9x-6}=\sqrt[3]{4}$$.

а) $$\left(\sqrt{2}\right)^{x+2}=\frac12.$$

Представим правую часть как степень числа $$2$$:

$$\left(2^{\frac12}\right)^{x+2}=2^{-1}.$$

Тогда

$$2^{\frac{x+2}{2}}=2^{-1},$$

откуда

$$\frac{x+2}{2}=-1.$$

$$x+2=-2,$$

$$x=-4.$$

б) $$\left(\sqrt{3}\right)^{-2x+9}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Запишем правую часть в виде степени с основанием $$\sqrt{3}$$:

$$\frac{1}{\sqrt{3}}=\left(\sqrt{3}\right)^{-1}.$$

Тогда

$$\left(\sqrt{3}\right)^{-2x+9}=\left(\sqrt{3}\right)^{-1},$$

следовательно,

$$-2x+9=-1.$$

$$-2x=-10,$$

$$x=5.$$

в) $$\left(\sqrt[3]{5}\right)^{6x-1}=\sqrt[6]{5}.$$

Представим обе части как степени числа $$5$$:

$$\left(5^{\frac13}\right)^{6x-1}=5^{\frac16}.$$

Получаем

$$5^{\frac{6x-1}{3}}=5^{\frac16},$$

значит,

$$\frac{6x-1}{3}=\frac16.$$

$$6x-1=\frac12,$$

$$6x=\frac32,$$

$$x=\frac14.$$

г) $$\left(\sqrt[5]{4}\right)^{-9x-6}=\sqrt[3]{4}.$$

Запишем через степень числа $$4$$:

$$\left(4^{\frac15}\right)^{-9x-6}=4^{\frac13}.$$

Тогда

$$4^{\frac{-9x-6}{5}}=4^{\frac13},$$

следовательно,

$$\frac{-9x-6}{5}=\frac13.$$

$$3(-9x-6)=5,$$

$$-27x-18=5,$$

$$-27x=23,$$

$$x=-\frac{23}{27}.$$

Ответ

а) $$-4$$; б) $$5$$; в) $$\frac14$$; г) $$-\frac{23}{27}$$.