Упр.11.54 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{4}x, & \text{если } x\geq 0,\\ \cos x, & \text{если } x>0.\end{cases}$$
а) Вычислите $$f(-3); f\left(-\frac{3}{2}\right); f(0); f\left(\frac{\pi}{4}\right); f\left(\frac{3\pi}{2}\right).$$
б) Постройте и прочитайте график функции $$y=f(x).$$
Функция задана так:
$$f(x)= \begin{cases} \left(\dfrac14\right)^x, & x\le 0,\\ \cos x, & x>0. \end{cases}$$
а)
Для отрицательных значений и для нуля используем формулу $$f(x)=\left(\dfrac14\right)^x$$, а при $$x>0$$ — формулу $$f(x)=\cos x$$.
$$f(-3)=\left(\dfrac14\right)^{-3}=4^3=64,$$
$$f\!\left(-\dfrac32\right)=\left(\dfrac14\right)^{-3/2}=4^{3/2}=8,$$
$$f(0)=\left(\dfrac14\right)^0=1,$$
$$f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2},$$
$$f\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=\cos\dfrac{3\pi}{2}=0.$$
б)
График функции состоит из двух частей:
- при $$x\le 0$$ — график показательной функции $$y=\left(\dfrac14\right)^x$$;
- при $$x>0$$ — график функции $$y=\cos x$$.
В точке $$x=0$$ получаем $$f(0)=1$$, поэтому обе части соединяются в точке $$\left(0;1\right)$$.
Для построения можно отметить несколько опорных точек:
$$\left(-2;16\right),\ \left(-1;4\right),\ \left(0;1\right)$$
и для косинуса:
$$\left(\dfrac{\pi}{2};0\right),\ \left(\pi;-1\right),\ \left(\dfrac{3\pi}{2};0\right),\ \left(2\pi;1\right).$$
Свойства функции:
$$D(f)=(-\infty;+\infty), \qquad E(f)=[-1;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная. На промежутках $$(-\infty;0]$$ и $$[2\pi n+\pi;2\pi n+2\pi]$$ убывает, а на промежутках $$[2\pi n;2\pi n+\pi]$$ возрастает, где $$n\in\mathbb Z$$.
Наименьшее значение равно $$-1$$, наибольшего значения нет.
Ответ
$$f(-3)=64,\quad f\!\left(-\dfrac32\right)=8,\quad f(0)=1,\quad f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2},\quad f\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=0.$$
