Упр.11.53 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x, & x<0,\\ \sqrt{x+1}, & x\ge 0.\end{cases}$$
   а) Вычислите $$f(-5)$$; $$f(-2{,}5)$$; $$f(0)$$; $$f(4)$$; $$f(1{,}69)$$.
   б) Постройте и прочитайте график функции $$y=f(x)$$.

$$f(x)=\begin{cases}\left(\dfrac12\right)^x, & x<0,\\ \sqrt{x}+1, & x\ge 0.\end{cases}$$

а) Найдём значения функции:

$$f(-5)=\left(\dfrac12\right)^{-5}=2^5=32,$$

$$f(-2{,}5)=\left(\dfrac12\right)^{-2{,}5}=2^{2{,}5}=2^2\cdot 2^{0{,}5}=4\sqrt2,$$

$$f(0)=\sqrt0+1=1,$$

$$f(4)=\sqrt4+1=2+1=3,$$

$$f(1{,}69)=\sqrt{1{,}69}+1=1{,}3+1=2{,}3.$$

б) График функции состоит из двух частей:

• при $$x<0$$ — график показательной функции $$y=\left(\dfrac12\right)^x$$;
• при $$x\ge 0$$ — график функции $$y=\sqrt{x}+1$$.

Для построения можно отметить несколько точек:

График проходит через точку $$\left(0;1\right)$$, слева убывает, а справа возрастает.

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=[1;+\infty)$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• убывает на луче $$(-\infty;0]$$ и возрастает на луче $$[0;+\infty)$$;
• ограничена снизу, не ограничена сверху;
• наименьшее значение равно $$1$$ при $$x=0$$;
• наибольшего значения не имеет.

Ответ

$$f(-5)=32,\quad f(-2{,}5)=4\sqrt2,\quad f(0)=1,\quad f(4)=3,\quad f(1{,}69)=2{,}3.$$

$$D(f)=(-\infty;+\infty),\quad E(f)=[1;+\infty).$$