Упр.11.52 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}4x, & x<1,\\-x^2+1, & x\geq 1.\end{cases}$$
   а) Вычислите $$f(-3)$$; $$f(-2{,}5)$$; $$f(0)$$; $$f(1)$$; $$f(2)$$.
   б) Постройте и прочитайте график функции $$y=f(x)$$.

Дана функция

$$f(x)= \begin{cases} 4^x, & x<1,\\ -x^2+1, & x\ge 1. \end{cases}$$

Ход решения

а) Найдём значения функции:

$$f(-3)=4^{-3}=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64};$$

$$f(-2{,}5)=4^{-2{,}5}=4^{-5/2}=\frac{1}{4^{5/2}}=\frac{1}{( \sqrt{4})^5}=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32};$$

$$f(0)=4^0=1;$$

$$f(1)=-1^2+1=-1+1=0;$$

$$f(2)=-2^2+1=-4+1=-3.$$

б) Построим график функции.

При $$x<1$$ имеем график показательной функции $$y=4^x$$. Для построения удобно взять точки:

$$(0;1),\quad (1;4).$$

Точка $$x=1$$ не входит в эту часть графика, поэтому в точке $$(1;4)$$ ставим пустую точку.

При $$x\ge 1$$ имеем график параболы $$y=-x^2+1$$. Для построения возьмём точки:

$$(1;0),\quad (2;-3),\quad (3;-8).$$

Точка $$(1;0)$$ входит в график, поэтому она закрашена.

Итак, график функции состоит из двух частей: ветви показательной функции $$y=4^x$$ при $$x<1$$ и ветви параболы $$y=-x^2+1$$ при $$x\ge 1$$.

По графику получаем:

• область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• область значений: $$E(f)=(-\infty;4)$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• возрастает на луче $$(-\infty;1)$$ и убывает на луче $$[1;+\infty)$$;
• горизонтальная асимптота при $$x\to -\infty$$: $$y=0$$;
• наибольшего и наименьшего значений функция не имеет;
• непрерывна на интервалах $$(-\infty;1)$$ и $$[1;+\infty)$$;
• дифференцируема всюду, кроме точки $$x=1$$.

Ответ

$$f(-3)=\frac{1}{64},\quad f(-2{,}5)=\frac{1}{32},\quad f(0)=1,\quad f(1)=0,\quad f(2)=-3.$$

$$D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=(-\infty;4).$$