Упр.11.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$y=\frac{0{,}5x-9}{\sqrt{0{,}5x}+3}$$; $$y=\frac{216x-8}{36x+2\cdot6x+4}$$; $$y=\frac{1{,}21x-4}{\sqrt{1{,}21x}-2}$$; $$y=\frac{64x+1}{16x-4x+1}$$.

Подробный ответ

а) $$y=\frac{0{,}5^x-9}{\sqrt{0{,}5^x}+3}=\frac{\left(0{,}5^x-3\right)\left(0{,}5^x+3\right)}{\sqrt{0{,}5^x}+3}=0{,}5^x-3.$$

Так как $$0{,}5^x>0,$$ то

$$y>-3.$$

Следовательно, $$E(y)=(-3;+\infty).$$

б) $$y=\frac{216^x-8}{36^x+2\cdot 6^x+4}=\frac{(6^x-2)(36^x+2\cdot 6^x+4)}{36^x+2\cdot 6^x+4}=6^x-2.$$

Так как $$6^x>0,$$ то

$$y>-2.$$

Следовательно, $$E(y)=(-2;+\infty).$$

в) $$y=\frac{1{,}21^x-4}{\sqrt{1{,}21^x}-2}=\frac{\left(\sqrt{1{,}21^x}-2\right)\left(\sqrt{1{,}21^x}+2\right)}{\sqrt{1{,}21^x}-2}=\sqrt{1{,}21^x}+2.$$

Но при этом должно выполняться $$\sqrt{1{,}21^x}-2\ne 0,$$ то есть

$$\sqrt{1{,}21^x}\ne 2 \quad \Rightarrow \quad 1{,}21^x\ne 4.$$

Значит, $$y=\sqrt{1{,}21^x}+2>2,$$ и значение $$y=4$$ не достигается.

Следовательно, $$E(y)=(2;4)\cup(4;+\infty).$$

г) $$y=\frac{64^x+1}{16^x-4^x+1}=\frac{(4^x+1)(16^x-4^x+1)}{16^x-4^x+1}=4^x+1.$$

Так как $$4^x>0,$$ то

$$y>1.$$

Следовательно, $$E(y)=(1;+\infty).$$