Упр.11.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что для функции $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\frac{1}{3}$$, выполняется равенство:
   а) $$f(x_1)\cdot f(x_2)=f(x_1+x_2)$$;
   б) $$f(x-1)\cdot f(3x)=3f^4(x)$$;
   в) $$f(-5x)=\frac{1}{f^5(x)}$$;
   г) $$f(\sin^2 x)=\frac{1}{\text{корень }3f(\cos^2 x)}$$.

Пусть $$f(x)=\left(\frac13\right)^x.$$ Тогда используем свойства степеней.

Ход решения

1. Докажем равенство $$f(x_1)\cdot f(x_2)=f(x_1+x_2).$$

   $$f(x_1)\cdot f(x_2)=\left(\frac13\right)^{x_1}\cdot \left(\frac13\right)^{x_2} =\left(\frac13\right)^{x_1+x_2}=f(x_1+x_2).$$

2. Докажем равенство $$f(x-1)\cdot f(3x)=3f^4(x).$$

   $$f(x-1)\cdot f(3x)=\left(\frac13\right)^{x-1}\cdot \left(\frac13\right)^{3x} =\left(\frac13\right)^{4x-1}.$$

   $$3f^4(x)=3\left(\left(\frac13\right)^x\right)^4 =3\left(\frac13\right)^{4x} =\left(\frac13\right)^{-1}\cdot \left(\frac13\right)^{4x} =\left(\frac13\right)^{4x-1}.$$

   Следовательно, $$f(x-1)\cdot f(3x)=3f^4(x).$$

3. Докажем равенство $$f(-5x)=\frac1{f^5(x)}.$$

   $$f(-5x)=\left(\frac13\right)^{-5x}=3^{5x}.$$

   $$\frac1{f^5(x)}=\frac1{\left(\left(\frac13\right)^x\right)^5} =\frac1{\left(\frac13\right)^{5x}} =3^{5x}.$$

   Значит, $$f(-5x)=\frac1{f^5(x)}.$$

4. Докажем равенство $$f(\sin^2 x)=\frac1{\sqrt{3f(\cos 2x)}}.$$

   $$f(\sin^2 x)=\left(\frac13\right)^{\sin^2 x} =\left(\frac13\right)^{\frac{1-\cos 2x}{2}}.$$

   $$\frac1{\sqrt{3f(\cos 2x)}}= \frac1{\sqrt{3\left(\frac13\right)^{\cos 2x}}} =\frac1{\sqrt{\left(\frac13\right)^{-1}\left(\frac13\right)^{\cos 2x}}} =\frac1{\sqrt{\left(\frac13\right)^{\cos 2x-1}}}.$$

   $$\frac1{\sqrt{\left(\frac13\right)^{\cos 2x-1}}} =\left(\frac13\right)^{\frac{1-\cos 2x}{2}} =f(\sin^2 x).$$

   Следовательно, равенство верно.

Ответ

Все равенства доказаны.