Упр.11.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите, что для функции $$y=f(x)$$, где $$f(x)=2^x$$, выполняется равенство:

а) $$f(x_1)\cdot f(x_2)=f(x_1+x_2)$$;

б) $$f(x+1)\cdot f(2x)=2f^3(x)$$;

в) $$f(-2x)=\frac{1}{f^2(x)}$$;

г) $$f(\cos^2 x)=\sqrt{2f(\cos 2x)}$$.

Пусть $$f(x)=2^x.$$ Докажем равенства по пунктам.

1. $$f(x_1)\cdot f(x_2)=2^{x_1}\cdot 2^{x_2}=2^{x_1+x_2}=f(x_1+x_2).$$
2. $$f(x+1)\cdot f(2x)=2^{x+1}\cdot 2^{2x}=2^{3x+1}.$$
   С другой стороны,
   $$2f^3(x)=2\cdot (2^x)^3=2\cdot 2^{3x}=2^{3x+1}.$$
   Значит,
   $$f(x+1)\cdot f(2x)=2f^3(x).$$
3. $$f(-2x)=2^{-2x}=\frac{1}{2^{2x}}.$$
   А так как
   $$f^2(x)=(2^x)^2=2^{2x},$$
   то
   $$f(-2x)=\frac{1}{f^2(x)}.$$
4. $$f(\cos^2 x)=2^{\cos^2 x}.$$
   Используем формулу
   $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$$
   Тогда
   $$f(\cos^2 x)=2^{\frac{1+\cos 2x}{2}}=\sqrt{2^{1+\cos 2x}}=\sqrt{2\cdot 2^{\cos 2x}}=\sqrt{2f(\cos 2x)}.$$

Ответ: все равенства доказаны.