Упр.11.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. На каком отрезке функция $$y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$$ принимает: а) наибольшее значение, равное $$81$$, и наименьшее, равное $$\frac{1}{27}$$; б) наибольшее значение, равное $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$, и наименьшее, равное $$\frac{1}{\sqrt[7]{9}}$$?

Так как функция $$y=\left(\frac13\right)^x$$ убывает, то на отрезке наибольшее значение достигается при меньшем значении $$x$$, а наименьшее — при большем.

а)

Найдём значения аргумента, соответствующие данным значениям функции:

$$\frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=\left(\frac13\right)^3,$$

значит, $$x=3$$.

$$81=3^4=\left(\frac13\right)^{-4},$$

значит, $$x=-4$$.

Следовательно, искомый отрезок:

$$[-4;3].$$

б)

$$\frac{1}{\sqrt3}=\left(\frac13\right)^{\frac12},$$

значит, $$x=\frac12$$.

$$\frac{1}{\sqrt[7]{9}}=\frac{1}{(3^2)^{1/7}}=3^{-2/7}=\left(\frac13\right)^{\frac27},$$

значит, $$x=\frac27$$.

Так как функция убывает, то искомый отрезок:

$$\left[\frac27;\frac12\right].$$

Ответ

а) $$[-4;3]$$; б) $$\left[\frac27;\frac12\right].$$