Упр.11.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$y=32\cdot2^{x-6}-5,\quad [-1;2]$$
2. б) $$y=8\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{x-4}+10,\quad [-2;3]$$
3. в) $$y=27\cdot3^{-x-2}+4,\quad [1;3]$$
4. г) $$y=125\cdot5^{-x-4}-12,\quad [-2;0]$$

а) $$y=32\cdot 2^{x-6}-5=2^5\cdot 2^{x-6}-5=2^{x-1}-5.$$

Так как $$2>1,$$ функция возрастает на всём промежутке $$[-1;2].$$ Значит, наименьшее значение она принимает при $$x=-1,$$ а наибольшее — при $$x=2.$$

$$y(-1)=2^{-2}-5=\frac14-5=-4{,}75,$$

$$y(2)=2^1-5=2-5=-3.$$

б) $$y=8\left(\frac12\right)^{x-4}+10=2^3\left(\frac12\right)^{x-4}+10=2^{7-x}+10.$$

Так как $$\frac12<1,$$ функция убывает на промежутке $$[-2;3].$$ Следовательно, наибольшее значение достигается при $$x=-2,$$ а наименьшее — при $$x=3.$$

$$y(-2)=8\left(\frac12\right)^{-6}+10=8\cdot 64+10=522,$$

$$y(3)=8\left(\frac12\right)^{-1}+10=8\cdot 2+10=26.$$

в) $$y=27\cdot 3^{-x-2}+4=3^3\cdot 3^{-x-2}+4=3^{1-x}+4.$$

Так как $$\frac13<1,$$ функция убывает на промежутке $$[1;3].$$ Значит, наибольшее значение при $$x=1,$$ наименьшее — при $$x=3.$$

$$y(1)=27\cdot 3^{-3}+4=\frac{27}{27}+4=5,$$

$$y(3)=27\cdot 3^{-5}+4=\frac{27}{243}+4=\frac19+4=4\frac19.$$

г) $$y=125\cdot 5^{-x-4}-12=5^3\cdot 5^{-x-4}-12=5^{-x-1}-12.$$

Так как $$\frac15<1,$$ функция убывает на промежутке $$[-2;0].$$ Следовательно, наибольшее значение при $$x=-2,$$ наименьшее — при $$x=0.$$

$$y(-2)=125\cdot 5^{-2}-12=125\cdot \frac1{25}-12=5-12=-7,$$

$$y(0)=125\cdot 5^{-4}-12=125\cdot \frac1{625}-12=\frac15-12=-11{,}8.$$

Ответ: а) $$y_{\min}=-4{,}75,$$ $$y_{\max}=-3;$$ б) $$y_{\min}=26,$$ $$y_{\max}=522;$$ в) $$y_{\min}=4\frac19,$$ $$y_{\max}=5;$$ г) $$y_{\min}=-11{,}8,$$ $$y_{\max}=-7.$$