Упр.11.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:
а) $$y=(\sqrt{2})^x,\quad x\in(-\infty;4]$$;
б) $$y=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^x,\quad x\in(-\infty;2]$$;
в) $$y=\left(\sqrt[3]{5}\right)^x,\quad x\in[0;+\infty)$$;
г) $$y=\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^x,\quad x\in[-2;+\infty)$$.
а) $$y=(\sqrt{2})^x,\quad (-\infty;4]$$
Так как $$\sqrt{2}>1,$$ функция возрастает. Поэтому наибольшее значение достигается при $$x=4$$:
$$y_{\max}=y(4)=(\sqrt{2})^4=2^2=4.$$
Наименьшего значения на промежутке $$(-\infty;4]$$ нет, так как при $$x\to -\infty$$ значение функции стремится к нулю, но не достигает его.
б) $$y=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^x,\quad (-\infty;2]$$
Так как $$0<\frac{1}{\sqrt{3}}<1,$$ функция убывает. Значит, наименьшее значение достигается при $$x=2$$:
$$y_{\min}=y(2)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{1}{3}.$$
Наибольшего значения на промежутке $$(-\infty;2]$$ нет.
в) $$y=(\sqrt[3]{5})^x,\quad [0;+\infty)$$
Так как $$\sqrt[3]{5}>1,$$ функция возрастает. Поэтому наименьшее значение достигается при $$x=0$$:
$$y_{\min}=y(0)=(\sqrt[3]{5})^0=1.$$
Наибольшего значения на промежутке $$[0;+\infty)$$ нет.
г) $$y=\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^x,\quad [-2;+\infty)$$
Так как $$0<\frac{1}{\sqrt{7}}<1,$$ функция убывает. Значит, наибольшее значение достигается при $$x=-2$$:
$$y_{\max}=y(-2)=\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{-2}=(\sqrt{7})^2=7.$$
Наименьшего значения на промежутке $$[-2;+\infty)$$ нет.
Ответ: а) $$y_{\max}=4,$$ $$y_{\min}$$ не существует; б) $$y_{\min}=\frac{1}{3},$$ $$y_{\max}$$ не существует; в) $$y_{\min}=1,$$ $$y_{\max}$$ не существует; г) $$y_{\max}=7,$$ $$y_{\min}$$ не существует.
