Упр.11.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: а) $$y=2x$$, $$[1;4]$$; б) $$y=\frac{1}{3}x$$, $$[-4;2]$$; в) $$y=\frac{1}{3}x$$, $$[0;4]$$; г) $$y=2x$$, $$[-4;2]$$.
Для показательной функции $$y=a^x$$ при $$a>1$$ функция возрастает, а при $$0<a<1$$ — убывает. Поэтому на отрезке наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.
$$y=2^x,\quad [1;4]$$
Так как $$2>1$$, функция возрастает. Тогда
$$y(1)=2^1=2,\qquad y(4)=2^4=16.$$
Наименьшее значение: $$2$$, наибольшее значение: $$16$$.
$$y=\left(\frac13\right)^x,\quad [-4;-2]$$
Так как $$\frac13<1$$, функция убывает. Тогда
$$y(-4)=\left(\frac13\right)^{-4}=3^4=81,\qquad y(-2)=\left(\frac13\right)^{-2}=3^2=9.$$
Наибольшее значение: $$81$$, наименьшее значение: $$9$$.
$$y=\left(\frac13\right)^x,\quad [0;4]$$
Функция убывает, значит
$$y(0)=\left(\frac13\right)^0=1,\qquad y(4)=\left(\frac13\right)^4=\frac1{81}.$$
Наибольшее значение: $$1$$, наименьшее значение: $$\frac1{81}$$.
$$y=2^x,\quad [-4;2]$$
Функция возрастает, значит
$$y(-4)=2^{-4}=\frac1{16},\qquad y(2)=2^2=4.$$
Наименьшее значение: $$\frac1{16}$$, наибольшее значение: $$4$$.
Ответ: а) $$y_{\min}=2,$$ $$y_{\max}=16$$; б) $$y_{\min}=9,$$ $$y_{\max}=81$$; в) $$y_{\min}=\frac1{81},$$ $$y_{\max}=1$$; г) $$y_{\min}=\frac1{16},$$ $$y_{\max}=4$$.
