Упр.11.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
11.13. Схематично изобразите график показательной функции:
а) $$y=(\sqrt{2})^x$$; б) $$y=\left(\frac{1}{\pi}\right)^x$$; в) $$y=(\sqrt{7})^x$$; г) $$y=\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^x$$.
Для показательной функции $$y=a^x$$:
- если $$a>1$$, график возрастает;
- если $$0<a<1$$, график убывает;
- всегда проходит через точку $$\left(0;1\right)$$.
$$y=\left(\sqrt{2}\right)^x$$
Так как $$\sqrt{2}>1$$, график функции возрастает. Для построения удобно отметить точки:
$$x=0 \Rightarrow y=1,\quad x=1 \Rightarrow y=\sqrt{2},\quad x=2 \Rightarrow y=2,\quad x=-1 \Rightarrow y=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$
$$y=\left(\frac{1}{\pi}\right)^x$$
Так как $$0<\frac{1}{\pi}<1$$, график функции убывает. Удобные точки:
$$x=0 \Rightarrow y=1,\quad x=1 \Rightarrow y=\frac{1}{\pi},\quad x=2 \Rightarrow y=\frac{1}{\pi^2},\quad x=-1 \Rightarrow y=\pi.$$
$$y=\left(\sqrt{7}\right)^x$$
Так как $$\sqrt{7}>1$$, график функции возрастает. Удобные точки:
$$x=0 \Rightarrow y=1,\quad x=1 \Rightarrow y=\sqrt{7},\quad x=2 \Rightarrow y=7,\quad x=-1 \Rightarrow y=\frac{1}{\sqrt{7}}.$$
$$y=\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^x$$
Так как $$0<\frac{1}{\sqrt{6}}<1$$, график функции убывает. Удобные точки:
$$x=0 \Rightarrow y=1,\quad x=1 \Rightarrow y=\frac{1}{\sqrt{6}},\quad x=2 \Rightarrow y=\frac{1}{6},\quad x=-1 \Rightarrow y=\sqrt{6}.$$
Во всех четырёх случаях графики проходят через точку $$\left(0;1\right)$$, имеют горизонтальную асимптоту $$y=0$$ и расположены выше оси $$Ox$$.
Ответ
$$y=\left(\sqrt{2}\right)^x$$ и $$y=\left(\sqrt{7}\right)^x$$ — возрастающие графики; $$y=\left(\frac{1}{\pi}\right)^x$$ и $$y=\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^x$$ — убывающие графики. Все графики проходят через точку $$\left(0;1\right)$$.
