Упр.10.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Вычислите: а) $$(\cos 20^\circ+i\sin 20^\circ)^9$$; в) $$(\cos 3^\circ-i\sin 3^\circ)^{-40}$$; б) $$(\cos 20^\circ+i\sin 20^\circ)^{-3}$$; г) $$(\cos 5^\circ-i\sin 50)^{24}$$.

Используем формулу Муавра:

$$\left(\cos \alpha+i\sin \alpha\right)^n=\cos n\alpha+i\sin n\alpha.$$

1. $$\left(\cos 20^\circ+i\sin 20^\circ\right)^9=\cos 180^\circ+i\sin 180^\circ=-1.$$

2. $$\left(\cos 20^\circ+i\sin 20^\circ\right)^{-3}=\cos(-60^\circ)+i\sin(-60^\circ).$$

   Так как $$\cos(-60^\circ)=\cos 60^\circ=\frac12,$$ а $$\sin(-60^\circ)=-\sin 60^\circ=-\frac{\sqrt3}{2},$$ то

   $$\left(\cos 20^\circ+i\sin 20^\circ\right)^{-3}=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.$$

3. $$\left(\cos 3^\circ-i\sin 3^\circ\right)^{-40}=\cos(-120^\circ)-i\sin(-120^\circ).$$

   Поскольку $$\cos(-120^\circ)=\cos 120^\circ=-\frac12,$$ $$\sin(-120^\circ)=-\sin 120^\circ=-\frac{\sqrt3}{2},$$ получаем

   $$\left(\cos 3^\circ-i\sin 3^\circ\right)^{-40}=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i.$$

4. $$\left(\cos 5^\circ-i\sin 5^\circ\right)^{24}=\cos 120^\circ-i\sin 120^\circ.$$

   Так как $$\cos 120^\circ=-\frac12,$$ $$\sin 120^\circ=\frac{\sqrt3}{2},$$ то

   $$\left(\cos 5^\circ-i\sin 5^\circ\right)^{24}=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$$; в) $$-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$$; г) $$-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$$.