Упр.10.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Пусть $$z=\cos 8^\circ+i\sin 8^\circ$$. Найдите наименьшее натуральное значение $$n$$, для которого:
   а) $$z^n$$ принадлежит третьей координатной четверти комплексной плоскости;
   б) $$(z)^n$$ принадлежит третьей координатной четверти;
   в) $$z^n$$ принадлежит четвёртой координатной четверти;
   г) $$(z)^n$$ принадлежит первой координатной четверти.

Пусть $$z=\cos 8^\circ+i\sin 8^\circ.$$ Тогда

$$z^n=\cos 8^\circ n+i\sin 8^\circ n,$$

а для сопряжённого числа

$$\overline z=\cos 8^\circ-i\sin 8^\circ,\qquad (\overline z)^n=\cos(-8^\circ n)+i\sin(-8^\circ n).$$

Ход решения

1. Чтобы $$z^n$$ лежало в третьей четверти, нужно

   $$180^\circ<8^\circ n<270^\circ.$$

   Делим на $$8^\circ$$:

   $$22{,}5<n<33{,}75.$$

   Наименьшее натуральное $$n=23.$$

2. Чтобы $$(\overline z)^n$$ лежало в третьей четверти, нужно

   $$180^\circ<-8^\circ n<270^\circ.$$

   Удобнее записать эквивалентно:

   $$-180^\circ<-8^\circ n<-90^\circ.$$

   Делим на $$-8^\circ$$, меняя знаки неравенств:

   $$11{,}25<n<22{,}5.$$

   Наименьшее натуральное $$n=12.$$

3. Чтобы $$z^n$$ лежало в четвёртой четверти, нужно

   $$270^\circ<8^\circ n<360^\circ.$$

   Делим на $$8^\circ$$:

   $$33{,}75<n<45.$$

   Наименьшее натуральное $$n=34.$$

4. Чтобы $$(\overline z)^n$$ лежало в первой четверти, нужно

   $$-360^\circ<-8^\circ n<-270^\circ.$$

   Делим на $$-8^\circ$$, меняя знаки неравенств:

   $$33{,}75<n<45.$$

   Наименьшее натуральное $$n=34.$$

Ответ

а) $$23$$; б) $$12$$; в) $$34$$; г) $$34$$.