Упр.10.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$z_1=\sqrt{3}-2+i(\pi-4),\quad z_2=\sqrt{5}-2+i(\pi^2-9),\quad z_3=\sqrt[4]{17}-\sqrt[5]{31}+i(1-2^{0,2}),\quad z_4=\sqrt[10]{1000}-\sqrt[9]{600}+i(3^2/3-4^2/5);$$
б) $$z_1=\sin 200^\circ+i\cos 170^\circ,\quad z_2=\sin 250^\circ+i\cos 70^\circ,\quad z_3=\cos 440^\circ+i\cos 460^\circ,\quad z_4=\operatorname{tg}185^\circ+i\arccos 0,9.$$
Рассмотрим каждое комплексное число в виде $$z=x+iy$$ и определим, в какой четверти комплексной плоскости находится соответствующая точка.
а)
$$z_1=\sqrt{3}-2+i(\pi-4),$$
$$x_1=\sqrt{3}-2<0,\quad y_1=\pi-4<0,$$
значит, $$z_1$$ лежит в III четверти.
$$z_2=\sqrt{5}-2+i(\pi^2-9),$$
$$x_2=\sqrt{5}-2>0,\quad y_2=\pi^2-9>0,$$
значит, $$z_2$$ лежит в I четверти.
$$z_3=\sqrt[4]{17}-\sqrt[5]{31}+i(1-2^{0,2}),$$
$$x_3=\sqrt[4]{17}-\sqrt[5]{31}>0,\quad y_3=1-2^{0,2}<0,$$
значит, $$z_3$$ лежит в IV четверти.
$$z_4=\sqrt[10]{1000}-\sqrt[9]{600}+i\left(3^{\frac23}-4^{\frac25}\right),$$
$$x_4=\sqrt[10]{1000}-\sqrt[9]{600}<0,\quad y_4=3^{\frac23}-4^{\frac25}>0,$$
значит, $$z_4$$ лежит во II четверти.
При движении против часовой стрелки аргументы возрастают, поэтому порядок такой:
$$z_1,\ z_3,\ z_2,\ z_4.$$
б)
$$z_1=\sin 200^\circ+i\cos 170^\circ,$$
$$\sin 200^\circ<0,\quad \cos 170^\circ<0,$$
значит, $$z_1$$ лежит в III четверти.
$$z_2=\sin 250^\circ+i\cos 70^\circ,$$
$$\sin 250^\circ<0,\quad \cos 70^\circ>0,$$
значит, $$z_2$$ лежит во II четверти.
$$z_3=\cos 440^\circ+i\cos 460^\circ,$$
$$\cos 440^\circ=\cos 80^\circ>0,\quad \cos 460^\circ=\cos 100^\circ<0,$$
значит, $$z_3$$ лежит в IV четверти.
$$z_4=\tg 185^\circ+i\arccos 0{,}9,$$
$$\tg 185^\circ>0,\quad \arccos 0{,}9>0,$$
значит, $$z_4$$ лежит в I четверти.
Следовательно, по возрастанию аргументов:
$$z_1,\ z_3,\ z_4,\ z_2.$$
Ответ
а) $$z_1,\ z_3,\ z_2,\ z_4$$; б) $$z_1,\ z_3,\ z_4,\ z_2$$.
