Упр.10.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 10.4. Расположите комплексные числа $$z_1, z_2, z_3, z_4$$ в порядке возрастания их аргументов:
   а) $$z_1=i,\ z_2=i^2,\ z_3=i^3,\ z_4=i^4$$;
   б) $$z_1=i^{-1},\ z_2=i^{-2},\ z_3=i^{-3},\ z_4=z^{-4}$$.

Найдём аргументы данных комплексных чисел и расположим их по возрастанию.

а)

$$z_1=i=0+i,\quad \varphi_1=\frac{\pi}{2}$$
$$z_2=i^2=-1+0i,\quad \varphi_2=\pi$$
$$z_3=i^3=0-i,\quad \varphi_3=-\frac{\pi}{2}$$
$$z_4=i^4=1+0i,\quad \varphi_4=0$$

По возрастанию аргументов:
$$-\frac{\pi}{2},\ 0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi$$
то есть
$$z_3,\ z_4,\ z_1,\ z_2.$$

б)

$$z_1=i^{-1}=\frac{1}{i}=0-i,\quad \varphi_1=-\frac{\pi}{2}$$
$$z_2=i^{-2}=\frac{1}{i^2}=-1+0i,\quad \varphi_2=\pi$$
$$z_3=i^{-3}=\frac{1}{i^3}=0+i,\quad \varphi_3=\frac{\pi}{2}$$
$$z_4=i^{-4}=\frac{1}{i^4}=1+0i,\quad \varphi_4=0$$

По возрастанию аргументов:
$$-\frac{\pi}{2},\ 0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi$$
то есть
$$z_1,\ z_4,\ z_3,\ z_2.$$

Ответ

а) $$z_3,\ z_4,\ z_1,\ z_2$$;
б) $$z_1,\ z_4,\ z_3,\ z_2$$.