Упр.10.3 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите наименьшее натуральное значение $$n$$, при котором:

а) число $$(4+3i)^n$$ лежит вне круга радиуса $$100$$ с центром в начале координат;

б) число $$(1-2i)^n$$ лежит вне круга радиуса $$1000$$ с центром в начале координат;

в) число $$(i-2)^n$$ лежит вне круга радиуса $$10^n$$ с центром в начале координат;

г) число $$(1+3i)^n$$ лежит вне круга радиуса $$5n^2$$ с центром в начале координат.

Для комплексного числа $$z=a+bi$$ модуль равен $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$$

1. $$|(4+3i)^n|=|4+3i|^n=\left(\sqrt{4^2+3^2}\right)^n=5^n.$$

   Нужно, чтобы $$5^n>100.$$

   Проверяем: $$5^2=25, 5^3=125.$$

   Значит, наименьшее $$n=3.$$

2. $$|(1-2i)^n|=|1-2i|^n=\left(\sqrt{1^2+(-2)^2}\right)^n=(\sqrt5)^n.$$

   Нужно, чтобы $$(\sqrt5)^n>1000.$$

   Так как $$1000<(\sqrt5)^8=25^2=625$$ и $$(\sqrt5)^9=25^2\sqrt5>1000,$$ получаем $$n=9.$$

3. $$|(i-2)^n|=|i-2|^n=\left(\sqrt{(-2)^2+1^2}\right)^n=(\sqrt5)^n.$$

   Нужно, чтобы $$(\sqrt5)^n>10n.$$

   Проверим значения:

   при $$n=4$$ имеем $$(\sqrt5)^4=25<40,$$

   при $$n=5$$ имеем $$(\sqrt5)^5=25\sqrt5>50.$$

   Следовательно, наименьшее $$n=5.$$

4. $$|(1+3i)^n|=|1+3i|^n=\left(\sqrt{1^2+3^2}\right)^n=(\sqrt{10})^n.$$

   Нужно, чтобы $$(\sqrt{10})^n>5n^2.$$

   Проверяем:

   при $$n=3$$: $$(\sqrt{10})^3=10\sqrt{10}<45,$$

   при $$n=4$$: $$(\sqrt{10})^4=100>80.$$

   Значит, наименьшее $$n=4.$$

Ответ: а) $$3$$; б) $$9$$; в) $$5$$; г) $$4$$.