Упр.10.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$z^4-1=0$$; б) $$z^4-3z^3+6z^2-12z+8=0$$; в) $$z^4-5z^2-36=0$$; г) $$z^4-5z^3+7z^2-5z+6=0$$.

а) $$z^4-1=0$$

Разложим на множители:

$$\left(z^2+1\right)\left(z^2-1\right)=0$$

Тогда

$$z^2+1=0 \Rightarrow z^2=-1 \Rightarrow z=\pm i,$$

или

$$z^2-1=0 \Rightarrow z^2=1 \Rightarrow z=\pm 1.$$

Ответ: $$z=\pm 1,\ \pm i.$$

б) $$z^4-3z^3+6z^2-12z+8=0$$

Разложим на множители:

$$\left(z-1\right)\left(z-2\right)\left(z^2+4\right)=0$$

Тогда

$$z-1=0 \Rightarrow z=1,$$

$$z-2=0 \Rightarrow z=2,$$

$$z^2+4=0 \Rightarrow z^2=-4 \Rightarrow z=\pm 2i.$$

Ответ: $$1,\ 2,\ \pm 2i.$$

в) $$z^4-5z^2-36=0$$

Сделаем замену $$t=z^2$$. Тогда получаем:

$$t^2-5t-36=0$$

$$D=25+144=169,$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 13}{2}.$$

Отсюда

$$t_1=-4,\quad t_2=9.$$

Возвращаемся к переменной $$z$$:

$$z^2=-4 \Rightarrow z=\pm 2i,$$

$$z^2=9 \Rightarrow z=\pm 3.$$

Ответ: $$\pm 3,\ \pm 2i.$$

г) $$z^4-5z^3+7z^2-5z+6=0$$

Разложим на множители:

$$\left(z-2\right)\left(z-3\right)\left(z^2+1\right)=0$$

Тогда

$$z-2=0 \Rightarrow z=2,$$

$$z-3=0 \Rightarrow z=3,$$

$$z^2+1=0 \Rightarrow z^2=-1 \Rightarrow z=\pm i.$$

Ответ: $$2,\ 3,\ \pm i.$$