Упр.10.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение и изобразите его корни на комплексной плоскости:

• а) $$z^3-2z^2+z-2=0$$;
• в) $$z^3+3z^2+z-5=0$$;
• б) $$z^3+3z^2+5z+15=0$$;
• г) $$z^3+4z^2-50z+100=0$$.

а) $$z^3-2z^2+z-2=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$z^2(z-2)+(z-2)=0$$

$$\left(z^2+1\right)(z-2)=0$$

Отсюда:

$$z^2+1=0 \Rightarrow z^2=-1 \Rightarrow z=\pm i$$

или

$$z-2=0 \Rightarrow z=2$$

Корни на комплексной плоскости: $$2,\ i,\ -i$$.

б) $$z^3+3z^2+5z+15=0$$

Сгруппируем:

$$z^2(z+3)+5(z+3)=0$$

$$\left(z^2+5\right)(z+3)=0$$

Тогда:

$$z^2+5=0 \Rightarrow z^2=-5 \Rightarrow z=\pm i\sqrt{5}$$

или

$$z+3=0 \Rightarrow z=-3$$

Корни на комплексной плоскости: $$-3,\ i\sqrt{5},\ -i\sqrt{5}$$.

в) $$z^3+3z^2+z-5=0$$

Проверим корень $$z=1$$:

$$1^3+3\cdot 1^2+1-5=0$$

Значит, $$z-1$$ — множитель:

$$z^3+3z^2+z-5=(z-1)(z^2+4z+5)$$

Решаем квадратное уравнение:

$$z^2+4z+5=0$$

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4$$

$$z=\frac{-4\pm \sqrt{-4}}{2}=\frac{-4\pm 2i}{2}=-2\pm i$$

Корни на комплексной плоскости: $$1,\ -2+i,\ -2-i$$.

г) $$z^3+4z^2-50z+100=0$$

Проверим корень $$z=-10$$:

$$(-10)^3+4\cdot (-10)^2-50\cdot (-10)+100=0$$

Значит, $$z+10$$ — множитель:

$$z^3+4z^2-50z+100=(z+10)(z^2-6z+10)$$

Решаем квадратное уравнение:

$$z^2-6z+10=0$$

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 10=36-40=-4$$

$$z=\frac{6\pm \sqrt{-4}}{2}=\frac{6\pm 2i}{2}=3\pm i$$

Корни на комплексной плоскости: $$-10,\ 3+i,\ 3-i$$.

Ответ

а) $$z=2,\ \pm i$$; б) $$z=-3,\ \pm i\sqrt{5}$$; в) $$z=1,\ -2\pm i$$; г) $$z=-10,\ 3\pm i$$.