Упр.10.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Составьте (если возможно) многочлен четвертой степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются числа: а) $$z_1=i,\ z_2=i-1,\ z_3=-i,\ z_4=-(1+i)$$; б) $$z_1=2+i,\ z_2=i-2,\ z_3=2-i,\ z_4=-(2+i)$$; в) $$z_1=4+3i,\ z_2=4-3i,\ z_3=z_4=2$$; г) $$z_1=-1-8i,\ z_2=8i,\ z_3=z_4=-10$$.
а) Так как многочлен должен иметь действительные коэффициенты, вместе с корнем $$i$$ должен быть корень $$-i$$, а вместе с корнем $$i-1$$ — корень $$-1-i$$. Тогда
$$\begin{aligned} P(z)&=(z-i)(z+i)\bigl(z-(i-1)\bigr)\bigl(z-(-1-i)\bigr)\\ &=(z^2+1)(z+1-i)(z+1+i)\\ &=(z^2+1)\bigl((z+1)^2+1\bigr)\\ &=(z^2+1)(z^2+2z+2)\\ &=z^4+2z^3+3z^2+2z+2. \end{aligned}$$
б) Здесь корни попарно сопряжённые: $$2+i$$ и $$2-i$$, $$i-2$$ и $$-(2+i)= -2-i$$. Поэтому
$$\begin{aligned} P(z)&=(z-(2+i))(z-(2-i))(z-(i-2))(z-(-2-i))\\ &=\bigl((z-2)^2+1\bigr)\bigl((z+2)^2+1\bigr)\\ &=(z^2-4z+5)(z^2+4z+5)\\ &=(z^2+5)^2-(4z)^2\\ &=z^4-6z^2+25. \end{aligned}$$
в) Корни $$4+3i$$ и $$4-3i$$ сопряжённые, а число $$2$$ — корень кратности 2. Тогда
$$\begin{aligned} P(z)&=(z-(4+3i))(z-(4-3i))(z-2)^2\\ &=\bigl((z-4)^2+9\bigr)(z-2)^2\\ &=(z^2-8z+25)(z^2-4z+4)\\ &=z^4-12z^3+61z^2-132z+100. \end{aligned}$$
г) Составить многочлен с действительными коэффициентами нельзя, так как среди корней $$-1-8i$$ и $$8i$$ нет сопряжённых к ним чисел $$-1+8i$$ и $$-8i$$.
Ответ
а) $$z^4+2z^3+3z^2+2z+2$$; б) $$z^4-6z^2+25$$; в) $$z^4-12z^3+61z^2-132z+100$$; г) такой многочлен составить нельзя.
