Упр.10.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Пусть $$(z, z^2, z^3, \ldots, z^n, z^{n+1}, \ldots)$$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $$z=\cos 0{,}1\pi-i\sin 0{,}1\pi$$.
а) Укажите наименьшее натуральное значение $$n$$, при котором $$z^n$$ лежит в третьей координатной четверти комплексной плоскости (не на координатных осях).
б) Укажите наименьшее натуральное значение $$n$$, при котором $$z^n$$ лежит во второй координатной четверти (не на координатных осях).
в) Сколько в этой прогрессии различных чисел?
г) Найдите сумму этих различных чисел.
Пусть $$z=\cos 0{,}1\pi-i\sin 0{,}1\pi=\cos\left(-0{,}1\pi\right)+i\sin\left(-0{,}1\pi\right).$$
Тогда
$$z^n=\cos\left(-0{,}1\pi n\right)+i\sin\left(-0{,}1\pi n\right).$$
а)
Чтобы число $$z^n$$ лежало в третьей четверти, нужно, чтобы его аргумент удовлетворял неравенству
$$-\pi<-0{,}1\pi n<-\frac{\pi}{2}.$$
Умножим на $$-1$$ и изменим знаки неравенств:
$$\pi>0{,}1\pi n>\frac{\pi}{2}.$$
Делим на $$0{,}1\pi$$:
$$10>n>5.$$
Наименьшее натуральное значение:
$$n=6.$$
б)
Чтобы число $$z^n$$ лежало во второй четверти, нужно
$$\frac{\pi}{2}<-0{,}1\pi n<\pi.$$
Умножим на $$-1$$ и поменяем знаки неравенств:
$$-\frac{\pi}{2}>0{,}1\pi n>-\pi.$$
Перепишем в удобном виде:
$$-\pi<0{,}1\pi n<-\frac{\pi}{2}.$$
Делим на $$0{,}1\pi$$:
$$-10<n<-5.$$
Так как $$n$$ — натуральное число, берём эквивалентный промежуток по периодичности аргумента:
$$10<n<15.$$
Наименьшее натуральное значение:
$$n=11.$$
в)
Различные значения степеней образуют периодическую последовательность. Период равен
$$T=\frac{2\pi}{0{,}1\pi}=20.$$
Значит, в прогрессии $$20$$ различных чисел.
г)
По теореме Муавра все $$20$$ различных значений степеней числа $$z$$ — это вершины правильного двадцатиугольника на комплексной плоскости. Противоположные вершины дают пары чисел, суммы которых равны нулю. Поэтому сумма всех различных чисел равна
$$0.$$
Ответ: а) $$6$$; б) $$11$$; в) $$20$$; г) $$0$$.
