Упр.10.2 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение относительно $$n$$ ($$n \in \mathbb{Z}$$): а) $$i^7+i^n=0$$; в) $$i^{-12}+i^{-13}+i^9+i^n=2$$; б) $$i^9+i^n=1+i$$; г) $$i^{2005}+i^n=1-i$$.

Используем периодичность степеней числа $$i$$: $$i^1=i,\; i^2=-1,\; i^3=-i,\; i^4=1,$$ далее значения повторяются с периодом $$4$$.

Ход решения

1. $$i^7+i^n=0$$

   Так как $$i^7=i^4\cdot i^3=-i,$$ получаем

   $$-i+i^n=0 \Rightarrow i^n=i.$$

   Это возможно при $$n=4k+1,\; k\in \mathbb{Z}.$$

2. $$i^9+i^n=1+i$$

   Так как $$i^9=i^8\cdot i=i,$$ имеем

   $$i+i^n=1+i \Rightarrow i^n=1.$$

   Следовательно, $$n=4k,\; k\in \mathbb{Z}.$$

3. $$i^{-12}+i^{-13}+i^9+i^n=2$$

   Вычислим степени:

   $$i^{-12}=1,\quad i^{-13}=i^{-12}\cdot i^{-1}=i^{-1}=-i,\quad i^9=i.$$

   Тогда

   $$1-i+i+i^n=2 \Rightarrow 1+i^n=2 \Rightarrow i^n=1.$$

   Значит, $$n=4k,\; k\in \mathbb{Z}.$$

4. $$i^{2005}+i^n=1-i$$

   Так как $$2005=4\cdot 501+1,$$ то

   $$i^{2005}=i.$$

   Получаем

   $$i+i^n=1-i \Rightarrow i^n=1-2i.$$

   Но значение $$i^n$$ при целых $$n$$ может быть только одним из чисел $$1,\; i,\; -1,\; -i,$$ поэтому равенство невозможно.

Ответ

а) $$n=4k+1$$; б) $$n=4k$$; в) $$n=4k$$; г) корней нет, $$k\in \mathbb{Z}$$.