Упр.10.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Для многочлена $$z^3+az^2+bz+c$$ и его корней $$z_1,z_2,z_3$$ докажите, что выполняются следующие соотношения (теорема Виета): $$z_1+z_2+z_3=-a,\quad z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=b,\quad z_1z_2z_3=-c$$.

б) Сформулируйте и докажите теорему Виета для приведённого многочлена четвёртой степени.

Пусть корни многочлена $$z^3+az^2+bz+c$$ равны $$z_1,\ z_2,\ z_3.$$ Тогда

$$z^3+az^2+bz+c=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3).$$

Раскроем скобки:

$$(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3) = (z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2)(z-z_3)$$

$$= z^3-(z_1+z_2+z_3)z^2+(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)z-z_1z_2z_3.$$

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $$z$$, получаем:

$$z_1+z_2+z_3=-a,$$

$$z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=b,$$

$$z_1z_2z_3=-c.$$

Это и есть формулы Виета для многочлена третьей степени.

Теперь рассмотрим приведённый многочлен четвёртой степени

$$z^4+az^3+bz^2+cz+d,$$

пусть его корни $$z_1,\ z_2,\ z_3,\ z_4.$$ Тогда

$$z^4+az^3+bz^2+cz+d=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4).$$

После раскрытия скобок получаем:

$$(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4) = z^4-(z_1+z_2+z_3+z_4)z^3$$

$$+(z_1z_2+z_1z_3+z_1z_4+z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4)z^2$$

$$-(z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_1z_3z_4+z_2z_3z_4)z +z_1z_2z_3z_4.$$

Сравнивая коэффициенты, получаем теорему Виета для приведённого многочлена четвёртой степени:

$$z_1+z_2+z_3+z_4=-a,$$

$$z_1z_2+z_1z_3+z_1z_4+z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4=b,$$

$$z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_1z_3z_4+z_2z_3z_4=-c,$$

$$z_1z_2z_3z_4=d.$$