Упр.10.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Составьте многочлен третьей степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются числа $$z_1=-5$$, $$z_{2,3}=4\pm3i$$. б) Найдите числа $$z_1+z_2+z_3$$, $$z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1$$, $$z_1z_2z_3$$ и сравните их с коэффициентами многочлена из пункта а.

а) Так как числа $$4-3i$$ и $$4+3i$$ — сопряжённые, то

$$(z+5)(z-(4-3i))(z-(4+3i))=(z+5)\bigl((z-4)^2+3^2\bigr)$$

$$=(z+5)(z^2-8z+25)$$

$$=z^3-8z^2+25z+5z^2-40z+125$$

$$=z^3-3z^2-15z+125.$$

б) Найдём суммы:

$$z_1+z_2+z_3=-5+(4-3i)+(4+3i)=3$$

$$z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=-5(4-3i)+(4-3i)(4+3i)-5(4+3i)$$

$$=-20+15i+16+9-20-15i=-15$$

$$z_1z_2z_3=-5(4-3i)(4+3i)=-5(16+9)=-125.$$

Коэффициенты многочлена и найденные значения связаны формулами Виета:

$$z^3-(z_1+z_2+z_3)z^2+(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)z-z_1z_2z_3$$

то есть для многочлена $$z^3-3z^2-15z+125$$ действительно получаем:

$$z_1+z_2+z_3=3,\quad z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=-15,\quad z_1z_2z_3=-125.$$

Ответ

$$z^3-3z^2-15z+125;$$

$$z_1+z_2+z_3=3,\quad z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=-15,\quad z_1z_2z_3=-125.$$