Упр.10.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Составьте (если возможно) многочлен третьей степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются числа: а) $$z_1=1$$, $$z_2=2-i$$, $$z_3=2+i$$; б) $$z_1=0$$, $$z_2=3+2i$$, $$z_3=3-2i$$; в) $$z_1=1$$, $$z_2=2-i$$, $$z_3=2+2i$$; г) $$z_1=1$$, $$z_2=2i$$, $$z_3=3i$$.

Многочлен третьей степени с действительными коэффициентами можно составить только тогда, когда среди его корней есть комплексно-сопряжённые пары.

Ход решения

1. а) Корни $$z_1=1,$$ $$z_2=2-i,$$ $$z_3=2+i.$$

   Составим многочлен:

   $$(z-1)(z-(2-i))(z-(2+i))$$

   $$(z-1)\bigl((z-2)+i\bigr)\bigl((z-2)-i\bigr)$$

   $$(z-1)\bigl((z-2)^2+1\bigr)$$

   $$(z-1)(z^2-4z+5)$$

   $$z^3-5z^2+9z-5$$

2. б) Корни $$z_1=0,$$ $$z_2=3+2i,$$ $$z_3=3-2i.$$

   Составим многочлен:

   $$z(z-(3+2i))(z-(3-2i))$$

   $$z\bigl((z-3)-2i\bigr)\bigl((z-3)+2i\bigr)$$

   $$z\bigl((z-3)^2+4\bigr)$$

   $$z(z^2-6z+13)$$

   $$z^3-6z^2+13z$$

3. в) Корни $$z_1=1,$$ $$z_2=2-i,$$ $$z_3=2+2i.$$

   Здесь нет комплексно-сопряжённой пары корней, поэтому многочлен третьей степени с действительными коэффициентами составить нельзя.

4. г) Корни $$z_1=1,$$ $$z_2=2i,$$ $$z_3=3i.$$

   Здесь также нет комплексно-сопряжённой пары корней, поэтому такой многочлен с действительными коэффициентами не существует.

Ответ

а) $$z^3-5z^2+9z-5$$; б) $$z^3-6z^2+13z$$; в) невозможно; г) невозможно.