Упр.10.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Все значения $$\sqrt[5]{1}$$ на комплексной плоскости:

$$\sqrt[5]{1}=\sqrt[5]{\cos 0+i\sin 0}=\cos\frac{2\pi k}{5}+i\sin\frac{2\pi k}{5},\quad k=0,1,2,3,4.$$

Следовательно,

$$z_0=\cos 0+i\sin 0=1,$$

$$z_1=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}=\cos72^\circ+i\sin72^\circ,$$

$$z_2=\cos\frac{4\pi}{5}+i\sin\frac{4\pi}{5}=\cos144^\circ+i\sin144^\circ,$$

$$z_3=\cos\frac{6\pi}{5}+i\sin\frac{6\pi}{5}=\cos216^\circ+i\sin216^\circ,$$

$$z_4=\cos\frac{8\pi}{5}+i\sin\frac{8\pi}{5}=\cos288^\circ+i\sin288^\circ.$$

б) Докажем тождество:

$$z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1).$$

Действительно, при раскрытии скобок получаем:

$$(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=z^5+z^4+z^3+z^2+z-z^4-z^3-z^2-z-1=z^5-1.$$

Теперь подберём числа $$A<B$$ из равенства

$$z^4+z^3+z^2+z+1=(z^2+Az+1)(z^2+Bz+1).$$

Раскроем скобки:

$$(z^2+Az+1)(z^2+Bz+1)=z^4+(A+B)z^3+(AB+2)z^2+(A+B)z+1.$$

Сравнивая коэффициенты, получаем систему:

$$\begin{cases} A+B=1,\\ AB+2=1. \end{cases}$$

То есть

$$A+B=1,\qquad AB=-1.$$

Тогда $$A$$ и $$B$$ — корни уравнения

$$t^2-t-1=0.$$

Отсюда

$$t=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$

При $$A<B$$ имеем

$$A=\frac{1-\sqrt5}{2},\qquad B=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

в) Так как $$z_1=\cos72^\circ+i\sin72^\circ$$ и $$z_2=\cos288^\circ+i\sin288^\circ=\cos72^\circ-i\sin72^\circ,$$ то

$$z_1+z_2=2\cos72^\circ.$$

По формуле Виета для квадратного множителя

$$z^2+Az+1=0$$

сумма корней равна $$-A$$. Значит,

$$2\cos72^\circ=-A=-\frac{1-\sqrt5}{2}=\frac{\sqrt5-1}{2},$$

откуда

$$\cos72^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4}.$$

Тогда

$$\sin72^\circ=\sqrt{1-\cos^2 72^\circ} =\sqrt{1-\frac{(\sqrt5-1)^2}{16}} =\sqrt{\frac{10+2\sqrt5}{16}} =\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}.$$

г) Для правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность, центральный угол равен $$72^\circ$$. Сторона равна хорде:

$$a_5^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos72^\circ =2-2\cdot\frac{\sqrt5-1}{4} =\frac{5-\sqrt5}{2}.$$

Значит,

$$a_5=\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{2}}.$$

Для правильного десятиугольника центральный угол равен $$36^\circ$$, поэтому сторона

$$a_{10}=2\sin18^\circ=2\cos72^\circ=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$

Ответ

$$z_k=\cos\frac{2\pi k}{5}+i\sin\frac{2\pi k}{5},\quad k=0,1,2,3,4;$$

$$A=\frac{1-\sqrt5}{2},\quad B=\frac{1+\sqrt5}{2};$$

$$\cos72^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4},\quad \sin72^\circ=\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4};$$

$$a_5=\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{2}},\quad a_{10}=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$