Упр.10.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Запишите в тригонометрической форме тот из корней шестой степени из $$z$$, который принадлежит:
   а) первой четверти; $$z=-i$$;
   б) второй четверти; $$z=0{,}5(i-\sqrt{3})$$;
   в) второй четверти; $$z=-8i$$;
   г) третьей четверти; $$z=-13{,}5(i+\sqrt{3})$$.

Представим число $$z$$ в тригонометрической форме и воспользуемся формулой корней $$n$$-й степени:

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi+2\pi k}{n}\right), \quad k=0,1,\dots,n-1.$$

1. $$z=-i=1\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt[6]{z}=\cos \frac{3\pi/2+2\pi k}{6}+i\sin \frac{3\pi/2+2\pi k}{6} =\cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{3}\right)+i\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{3}\right).$$

   Корень первой четверти соответствует $$k=0$$:

   $$\sqrt[6]{z}=\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}.$$

2. $$z=0{,}5(i-\sqrt{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i =1\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt[6]{z}=\cos \frac{5\pi/6+2\pi k}{6}+i\sin \frac{5\pi/6+2\pi k}{6} =\cos \left(\frac{5\pi}{36}+\frac{\pi k}{3}\right)+i\sin \left(\frac{5\pi}{36}+\frac{\pi k}{3}\right).$$

   Корень второй четверти получается при $$k=1$$:

   $$\sqrt[6]{z}=\cos \frac{17\pi}{36}+i\sin \frac{17\pi}{36}.$$

3. $$z=8i=8\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt[6]{z}=\sqrt[6]{8}\left(\cos \frac{\pi/2+2\pi k}{6}+i\sin \frac{\pi/2+2\pi k}{6}\right) =\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}\right)+i\sin \left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}\right)\right).$$

   Корень второй четверти соответствует $$k=1$$:

   $$\sqrt[6]{z}=\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi}{12}+i\sin \frac{5\pi}{12}\right).$$

4. $$z=-13{,}5(i+\sqrt{3})=-13{,}5\sqrt{3}-13{,}5i =27\left(\cos \frac{7\pi}{6}+i\sin \frac{7\pi}{6}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt[6]{z}=\sqrt[6]{27}\left(\cos \frac{7\pi/6+2\pi k}{6}+i\sin \frac{7\pi/6+2\pi k}{6}\right) =\sqrt{3}\left(\cos \left(\frac{7\pi}{36}+\frac{\pi k}{3}\right)+i\sin \left(\frac{7\pi}{36}+\frac{\pi k}{3}\right)\right).$$

   Корень третьей четверти получается при $$k=3$$:

   $$\sqrt[6]{z}=\sqrt{3}\left(\cos \frac{43\pi}{36}+i\sin \frac{43\pi}{36}\right).$$

Ответ: а) $$\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}$$; б) $$\cos \frac{17\pi}{36}+i\sin \frac{17\pi}{36}$$; в) $$\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi}{12}+i\sin \frac{5\pi}{12}\right)$$; г) $$\sqrt{3}\left(\cos \frac{43\pi}{36}+i\sin \frac{43\pi}{36}\right).$$