Упр.10.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Вычислите и изобразите на комплексной плоскости:

$$\sqrt[6]{1}$$;
$$\sqrt[6]{-1}$$;
$$\left(\sqrt[6]{1}\right)^2$$;
$$\left(\sqrt[6]{-1}\right)^3$$.

Подробный ответ

а) Число $$1$$ можно записать в тригонометрической форме как $$1=\cos 0+i\sin 0.$$ Тогда его корни шестой степени:

$$\sqrt[6]{1}=\cos \frac{2\pi k}{6}+i\sin \frac{2\pi k}{6}, \quad k=0,1,2,3,4,5.$$

Получаем:

$$\begin{aligned} z_1&=\cos 0+i\sin 0=1,\\ z_2&=\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\\ z_3&=\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\\ z_4&=\cos \pi+i\sin \pi=-1,\\ z_5&=\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i,\\ z_6&=\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i. \end{aligned}$$

На комплексной плоскости это 6 точек на единичной окружности с аргументами $$0,\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}.$$

б) Число $$-1$$ имеет тригонометрическую форму $$-1=\cos \pi+i\sin \pi.$$ Тогда

$$\sqrt[6]{-1}=\cos \frac{\pi+2\pi k}{6}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{6}, \quad k=0,1,2,3,4,5.$$

Следовательно,

$$\begin{aligned} z_1&=\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\\ z_2&=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}=i,\\ z_3&=\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i,\\ z_4&=\cos \frac{7\pi}{6}+i\sin \frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i,\\ z_5&=\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}=-i,\\ z_6&=\cos \frac{11\pi}{6}+i\sin \frac{11\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i. \end{aligned}$$

Это 6 точек на единичной окружности, сдвинутые на угол $$\frac{\pi}{6}.$$

в) Используем результат пункта а): если $$z^6=1,$$ то

$$(z^6)^2=z^{12}=1.$$

Значит, все числа $$\left(\sqrt[6]{1}\right)^2$$ — это корни шестой степени из $$1$$, возведённые в квадрат:

$$\begin{aligned} 1^2&=1,\\ \left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)^2&=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\\ \left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)^2&=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i,\\ (-1)^2&=1,\\ \left(-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)^2&=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\\ \left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)^2&=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i. \end{aligned}$$

Итак, различные значения:

$$\left(\sqrt[6]{1}\right)^2\in \left\{1,\,-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\,-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right\}.$$

г) Аналогично, если $$z^6=-1,$$ то

$$(z^6)^3=z^{18}=-1.$$

Для корней из пункта б) получаем:

$$\begin{aligned} \left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i\right)^3&=-i,\\ i^3&=-i,\\ \left(-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i\right)^3&=i,\\ \left(-\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i\right)^3&=i,\\ (-i)^3&=i,\\ \left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i\right)^3&=-i. \end{aligned}$$

Следовательно,

$$\left(\sqrt[6]{-1}\right)^3\in \{-i,\; i\}.$$