Упр.10.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt[4]{1}$$; б) $$\sqrt[4]{-1}$$.

а) Число $$1$$ можно записать в тригонометрической форме как $$1=\cos 0+i\sin 0.$$

Тогда его корни четвертой степени:

$$z_k=\cos \frac{0+2\pi k}{4}+i\sin \frac{0+2\pi k}{4} =\cos \frac{\pi k}{2}+i\sin \frac{\pi k}{2}, \quad k=0,1,2,3.$$

Получаем:

$$z_0=1,\quad z_1=i,\quad z_2=-1,\quad z_3=-i.$$

Эти точки лежат на единичной окружности и соответствуют точкам $$1,\ i,\ -1,\ -i$$ на комплексной плоскости.

б) Число $$-1$$ запишем в тригонометрической форме:

$$-1=\cos \pi+i\sin \pi.$$

Тогда его корни четвертой степени:

$$z_k=\cos \frac{\pi+2\pi k}{4}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{4} =\cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right)+i\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right), \quad k=0,1,2,3.$$

Находим корни:

$$z_0=\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2},\quad z_1=-\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2},\quad z_2=-\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2},\quad z_3=\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}.$$

Это четыре точки на единичной окружности, расположенные под углами $$\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$1,\ i,\ -1,\ -i$$.
б) $$\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2},\ -\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2},\ -\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}.$$