Упр.10.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt[3]{8}$$; б) $$\sqrt[3]{-27}$$; в) $$\sqrt[3]{i}$$; г) $$\sqrt[3]{-64i}$$.

а) Представим число $$8$$ в тригонометрической форме:

$$8=8(\cos 0+i\sin 0).$$

Тогда его кубические корни:

$$\sqrt[3]{8}=2\left(\cos \frac{2\pi k}{3}+i\sin \frac{2\pi k}{3}\right), \quad k=0,1,2.$$

Получаем:

$$z_1=2\left(\cos 0+i\sin 0\right)=2,$$

$$z_2=2\left(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}\right)=-1+i\sqrt{3},$$

$$z_3=2\left(\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}\right)=-1-i\sqrt{3}.$$

Проверка:

$$z_1+z_2+z_3=0,\qquad z_1z_2z_3=8.$$

б) Запишем число $$-27$$ в тригонометрической форме:

$$-27=27(\cos \pi+i\sin \pi).$$

Тогда

$$\sqrt[3]{-27}=3\left(\cos \frac{\pi+2\pi k}{3}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{3}\right), \quad k=0,1,2.$$

Находим корни:

$$z_1=3\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)=\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i,$$

$$z_2=3\left(\cos \pi+i\sin \pi\right)=-3,$$

$$z_3=3\left(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}\right)=\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i.$$

Проверка:

$$z_1+z_2+z_3=0,\qquad z_1z_2z_3=-27.$$

в) Для числа $$i$$ имеем:

$$i=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}.$$

Тогда кубические корни:

$$\sqrt[3]{i}=\cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3}\right)+i\sin \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3}\right), \quad k=0,1,2.$$

Следовательно,

$$z_1=\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,$$

$$z_2=\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,$$

$$z_3=\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}=-i.$$

Проверка:

$$z_1+z_2+z_3=0,\qquad z_1z_2z_3=i.$$

г) Представим число $$-64i$$ в тригонометрической форме:

$$-64i=64\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\right).$$

Тогда

$$\sqrt[3]{-64i}=4\left(\cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi k}{3}\right)+i\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi k}{3}\right)\right), \quad k=0,1,2.$$

Находим корни:

$$z_1=4\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)=4i,$$

$$z_2=4\left(\cos \frac{7\pi}{6}+i\sin \frac{7\pi}{6}\right)=-2\sqrt{3}-2i,$$

$$z_3=4\left(\cos \frac{11\pi}{6}+i\sin \frac{11\pi}{6}\right)=2\sqrt{3}-2i.$$

Проверка:

$$z_1+z_2+z_3=0,\qquad z_1z_2z_3=-64i.$$

Ответ

а) $$2,\,-1+i\sqrt{3},\,-1-i\sqrt{3}$$;

б) $$\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i,\,-3,\,\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i$$;

в) $$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,\,-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,\,-i$$;

г) $$4i,\,-2\sqrt{3}-2i,\,2\sqrt{3}-2i$$.