Упр.10.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Вычислите корни (в алгебраической форме), изобразите их на комплексной плоскости; найдите сумму и произведение вычисленных корней:
а) $$\sqrt{i}$$; б) $$\sqrt{-i}$$; в) $$\sqrt{1-i}$$; г) $$\sqrt{i-10}$$.
а) $$i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}$$
Тогда корни квадратного уравнения $$z^2=i$$ равны
$$z_{1,2}=\cos\left(\frac{\pi}{4}+\pi k\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\quad k=0,1.$$
При $$k=0$$ получаем
$$z_1=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}(1+i).$$
При $$k=1$$ получаем
$$z_2=\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}(1+i).$$
Следовательно,
$$z=\pm \frac{\sqrt2}{2}(1+i),\qquad z_1+z_2=0,\qquad z_1z_2=-i.$$
б) $$-i=\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$$
Тогда
$$z_{1,2}=\cos\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\quad k=0,1.$$
При $$k=0$$:
$$z_1=\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}(1-i).$$
При $$k=1$$:
$$z_2=\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}(1-i).$$
Значит,
$$z=\pm \frac{\sqrt2}{2}(1-i),\qquad z_1+z_2=0,\qquad z_1z_2=i.$$
в) $$1-i=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}\right)=\sqrt2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right).$$
Тогда
$$z_{1,2}=\sqrt[4]{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{8}+\pi k\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{8}+\pi k\right)\right),\quad k=0,1.$$
Следовательно,
$$z_1=\sqrt[4]{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right),$$
$$z_2=\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{7\pi}{8}+i\sin\frac{7\pi}{8}\right).$$
В алгебраической форме:
$$z=\pm \frac12\left(\sqrt{2\sqrt2+2}-i\sqrt{2\sqrt2-2}\right),$$
$$z_1+z_2=0,\qquad z_1z_2=i-1.$$
г) $$i-10=-10+i.$$
Пусть $$z^2=i-10.$$ Тогда для корней имеем
$$z_{1,2}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{101}-10}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{101}+10}{2}}\right).$$
Следовательно,
$$z_1+z_2=0,\qquad z_1z_2=10-i.$$
Ответ
а) $$z=\pm \frac{\sqrt2}{2}(1+i),\quad z_1+z_2=0,\quad z_1z_2=-i.$$
б) $$z=\pm \frac{\sqrt2}{2}(1-i),\quad z_1+z_2=0,\quad z_1z_2=i.$$
в) $$z=\pm \frac12\left(\sqrt{2\sqrt2+2}-i\sqrt{2\sqrt2-2}\right),\quad z_1+z_2=0,\quad z_1z_2=i-1.$$
г) $$z=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{101}-10}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{101}+10}{2}}\right),\quad z_1+z_2=0,\quad z_1z_2=10-i.$$
