Упр.10.1 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Вычислите: а) $$\frac{3+7i}{3-i}$$; б) $$\frac{-i(3+i)}{7-i}$$; в) $$\frac{(2+3i)(4-i)}{i(1-7i)}$$; г) $$\frac{i^5+i^4+i}{(3+i)^2}$$.

Вычислим значения, умножая числитель и знаменатель на сопряжённое выражение.

Ход решения

а)

$$\frac{3+7i}{3-i}=\frac{(3+7i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\frac{9+3i+21i+7i^2}{9-i^2} =\frac{2+24i}{10}=0{,}2+2{,}4i$$

б)

$$\frac{-i(3+i)}{7-i}=\frac{(-3i-i^2)(7+i)}{(7-i)(7+i)}=\frac{(1-3i)(7+i)}{49-i^2}$$
$$=\frac{7+i-21i-3i^2}{50}=\frac{10-20i}{50}=0{,}2-0{,}4i$$

в)

$$\frac{(2+3i)(4-i)}{i(1-7i)}=\frac{8-2i+12i-3i^2}{i-7i^2} =\frac{11+10i}{i+7}$$
$$=\frac{(11+10i)(7-i)}{(7+i)(7-i)}=\frac{77-11i+70i-10i^2}{49-i^2} =\frac{87+59i}{50}=1{,}74+1{,}18i$$

г)

$$\frac{i^5+i^4+i}{(3+i)^2}=\frac{i+1+i}{9+6i+i^2}=\frac{1+2i}{8+6i}$$
$$=\frac{(1+2i)(8-6i)}{(8+6i)(8-6i)}=\frac{8-6i+16i-12i^2}{64-36i^2} =\frac{20+10i}{100}=0{,}2+0{,}1i$$

Ответ

$$\text{а) }0{,}2+2{,}4i;\quad \text{б) }0{,}2-0{,}4i;\quad \text{в) }1{,}74+1{,}18i;\quad \text{г) }0{,}2+0{,}1i.$$