Упр.1.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Какие из следующих утверждений верны: а) сумма многочленов степени $$n$$ есть многочлен степени не выше $$n$$; б) разность многочленов степени $$n$$ есть многочлен степени $$n$$; в) произведение многочленов степени $$n$$ есть многочлен степени не выше $$n$$; г) произведение многочленов степени $$n$$ есть многочлен степени $$2n$$?

Проверим каждое утверждение.

1. Сумма двух многочленов степени $$n$$ имеет степень не выше $$n$$, так как при сложении могут сократиться старшие члены, но степень не увеличивается:

   $$(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0)+(b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_0)$$
   $$= (a_n+b_n)x^n+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+\dots+(a_0+b_0).$$

   Утверждение верно.

2. Разность многочленов степени $$n$$ не обязана быть многочленом степени $$n$$: старшие члены могут сократиться, и степень станет меньше.

   Например,

   $$(2x^n+x^{n-1}+2)-(2x^n+x^{n-2}+1)=x^{n-1}-x^{n-2}+1,$$

   здесь степень равна $$n-1$$.

   Утверждение неверно.

3. Произведение многочленов степени $$n$$ вообще говоря имеет степень $$2n$$, а не не выше $$n$$.

   Например,

   $$(x^n+1)(x^n-1)=x^{2n}-1.$$

   Утверждение неверно.

4. Произведение двух многочленов степени $$n$$ имеет степень $$2n$$, если старшие коэффициенты не равны нулю:

   $$(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0)(b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_0)$$

   старший член равен $$a_nb_nx^{2n}$$, значит степень произведения равна $$2n$$.

   Утверждение верно.

Ответ: верны утверждения а и г.