Упр.1.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\left(x^2-3x+2\right)^2-\left(x^2-x\right)^2$$; б) $$(x+1)\left(x^7-x^6+\ldots-x^2+x-1\right)$$; в) $$(2-x)^3+(x-1)^3$$; г) $$\left(x^5-x^4+x^3-x^2+x-1\right)\left(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\right)$$.

Используем формулы разности квадратов и суммы кубов, а также перемножим многочлены в стандартном виде.

1. $$(x^2-3x+2)^2-(x^2-x)^2 =\bigl((x^2-3x+2)-(x^2-x)\bigr)\bigl((x^2-3x+2)+(x^2-x)\bigr)$$

   $$=(2-2x)(2x^2-4x+2) =2(1-x)\cdot 2(x^2-2x+1)$$

   $$=4(1-x)(x-1)^2=-4(x-1)^3=-4x^3+12x^2-12x+4$$

2. $$(x+1)(x^7-x^6+\dots-x^2+x-1)$$

   Это произведение суммы и разности геометрической прогрессии:

   $$(x+1)(x^7-x^6+\dots-x^2+x-1)=x^8-1$$

3. $$(2-x)^3+(x-1)^3 =\bigl((2-x)+(x-1)\bigr)\bigl((2-x)^2-(2-x)(x-1)+(x-1)^2\bigr)$$

   $$=1\cdot\bigl((4-4x+x^2)-(2-3x+x^2)+(x^2-2x+1)\bigr)$$

   $$=3x^2-9x+7$$

4. $$(x^5-x^4+x^3-x^2+x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$$

   Это произведение многочленов вида $$a-b$$ и $$a+b$$:

   $$=x^{10}-1$$

Ответ: а) $$-4x^3+12x^2-12x+4$$; б) $$x^8-1$$; в) $$3x^2-9x+7$$; г) $$x^{10}-1$$.