Упр.1.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Чтобы все корни многочлена $$g(x)$$ являлись корнями многочлена $$f(x)$$, достаточно показать, что $$f(x)$$ делится на $$g(x)$$ без остатка.

а)

$$g(x)=x^2-7x-1,\qquad f(x)=x^5-7x^4-5x^2-15x-2.$$

Разложим $$f(x)$$ на множители:

$$\begin{aligned} x^5-7x^4-5x^2-15x-2&=(x^2-7x-1)(x^3+x+2). \end{aligned}$$

Следовательно, $$g(x)$$ является множителем многочлена $$f(x)$$, значит, все корни $$g(x)$$ — корни $$f(x)$$.

б)

$$g(x)=x^3-5x^2+2x-3,\qquad f(x)=x^5-12x^4+36x^3-12x^2+19x+3.$$

Проверим деление:

$$\begin{aligned} x^5-12x^4+36x^3-12x^2+19x+3&=(x^3-5x^2+2x-3)(x^2-7x-1). \end{aligned}$$

Значит, $$g(x)$$ делит $$f(x)$$, поэтому все корни многочлена $$g(x)$$ являются корнями многочлена $$f(x)$$.

Ответ: в обоих пунктах утверждение верно, так как $$f(x)$$ делится на $$g(x)$$ без остатка.