Упр.1.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких целых значениях $$a$$, $$b$$ и $$c$$ многочлен $$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+2$$ имеет целый корень кратности 3? Для каждой тройки таких значений $$a$$, $$b$$ и $$c$$ найдите корни многочлена $$f(x)$$.

Целый корень многочлена с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом $$1$$ может быть только делителем свободного члена $$2$$, то есть

$$x=\pm 1,\ \pm 2.$$

Так как требуется корень кратности $$3$$, многочлен должен иметь вид

$$f(x)=(x-m)^3(x-n),$$

где $$m$$ — тройной корень, а $$n$$ — второй корень. Поскольку свободный член равен $$2$$, получаем возможные разложения:

$$f(x)=(x-1)^3(x-2),\quad (x+1)^3(x+2).$$

Рассмотрим оба случая.

1) Если

$$f(x)=(x-1)^3(x-2),$$

то

$$\begin{aligned} f(x)&=(x^3-3x^2+3x-1)(x-2)\\ &=x^4-5x^3+9x^2-7x+2. \end{aligned}$$

Значит,

$$a=-5,\quad b=9,\quad c=-7,$$

а корни многочлена: $$x=1$$ — корень кратности $$3$$, $$x=2$$.

2) Если

$$f(x)=(x+1)^3(x+2),$$

то

$$\begin{aligned} f(x)&=(x^3+3x^2+3x+1)(x+2)\\ &=x^4+5x^3+9x^2+7x+2. \end{aligned}$$

Значит,

$$a=5,\quad b=9,\quad c=7,$$

а корни многочлена: $$x=-1$$ — корень кратности $$3$$, $$x=-2$$.

Ответ: $$\left(a,b,c\right)=(-5,9,-7)$$ и $$\left(a,b,c\right)=(5,9,7).$$
Соответствующие корни: $$1$$ кратности $$3$$ и $$2$$; $$-1$$ кратности $$3$$ и $$-2$$.