Упр.1.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях $$b$$ и $$c$$ многочлен $$f(x)=x^4+8x^3+bx^2+cx+1$$ имеет два корня, каждый из которых второй кратности? Для каждой пары таких значений $$b$$ и $$c$$ найдите корни многочлена.

Пусть корни многочлена — $$x_1$$ и $$x_2$$, причём оба они второй кратности. Тогда

$$f(x)=(x-x_1)^2(x-x_2)^2.$$

Раскроем скобки:

$$(x-x_1)^2(x-x_2)^2 = x^4-2(x_1+x_2)x^3+(x_1^2+4x_1x_2+x_2^2)x^2-2x_1x_2(x_1+x_2)x+x_1^2x_2^2.$$

Сравнивая с $$f(x)=x^4+8x^3+bx^2+cx+1,$$ получаем систему:

$$-2(x_1+x_2)=8,\qquad x_1^2x_2^2=1.$$

Отсюда

$$x_1+x_2=-4,\qquad x_1x_2=\pm 1.$$

Теперь найдём параметры $$b$$ и $$c$$:

$$b=x_1^2+4x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2+2x_1x_2,$$

$$c=-2x_1x_2(x_1+x_2).$$

1) Если $$x_1x_2=-1$$, то

$$b=(-4)^2+2\cdot(-1)=16-2=14,$$

$$c=-2\cdot(-1)\cdot(-4)=-8.$$

Корни находятся из уравнения

$$t^2+4t-1=0,$$

откуда

$$t=-2\pm\sqrt5.$$

Значит, корни многочлена: $$x=-2+\sqrt5$$ и $$x=-2-\sqrt5$$.

2) Если $$x_1x_2=1$$, то

$$b=(-4)^2+2\cdot1=16+2=18,$$

$$c=-2\cdot1\cdot(-4)=8.$$

Корни находятся из уравнения

$$t^2+4t+1=0,$$

откуда

$$t=-2\pm\sqrt3.$$

Значит, корни многочлена: $$x=-2+\sqrt3$$ и $$x=-2-\sqrt3$$.

Ответ

$$b=14,\ c=-8,$$ корни: $$x=-2\pm\sqrt5.$$

$$b=18,\ c=8,$$ корни: $$x=-2\pm\sqrt3.$$