Упр.1.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Докажите, что у данного многочлена $$p(x)$$ нет рациональных корней: а) $$p(x)=7x^{15}-13$$; б) $$p(x)=3x^7+1$$.

Подробный ответ

Пусть рациональный корень многочлена имеет вид $$x=\frac{m}{n}$$, где дробь $$\frac{m}{n}$$ несократима.

а)

$$p(x)=7x^{15}-13.$$

Если $$\frac{m}{n}$$ — рациональный корень, то

$$7\left(\frac{m}{n}\right)^{15}-13=0.$$

Умножим на $$n^{15}$$:

$$7m^{15}-13n^{15}=0,$$

то есть

$$7m^{15}=13n^{15}.$$

Так как дробь $$\frac{m}{n}$$ несократима, то из равенства следует, что $$13 \mid m^{15}$$ и $$7 \mid n^{15}$$, а значит, $$13 \mid m$$ и $$7 \mid n$$. Но тогда дробь $$\frac{m}{n}$$ сократима, что противоречит условию.

Следовательно, рациональных корней у многочлена $$p(x)=7x^{15}-13$$ нет.

б)

$$p(x)=3x^7+1.$$

Если $$\frac{m}{n}$$ — рациональный корень, то

$$3\left(\frac{m}{n}\right)^7+1=0.$$

Умножим на $$n^7$$:

$$3m^7+n^7=0,$$

то есть

$$3m^7=-n^7.$$

Отсюда следует, что $$3 \mid n^7$$, значит, $$3 \mid n$$. Тогда из равенства $$3m^7=-n^7$$ получаем также, что $$m^7$$ делится на $$3$$, то есть $$3 \mid m$$. Значит, дробь $$\frac{m}{n}$$ снова сократима — противоречие.

Следовательно, рациональных корней у многочлена $$p(x)=3x^7+1$$ нет.