Упр.1.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$p(x)$$ — многочлен третьей степени; $$p(1)=p(2)=p(3)=0$$. Докажите, что:
а) $$p(4)\ne0$$;
в) $$p(1{,}5)+p(2{,}5)=0$$;
б) $$p(7)\ne p(-3)$$;
г) $$p(5)=4p(4)$$.

Так как $$p(x)$$ — многочлен третьей степени и $$p(1)=p(2)=p(3)=0,$$ то

$$p(x)=(x-1)(x-2)(x-3).$$

а) Найдём $$p(4)$$:

$$p(4)=(4-1)(4-2)(4-3)=3\cdot 2\cdot 1=6\neq 0.$$

б) Найдём $$p(7)$$ и $$p(-3)$$:

$$p(7)=(7-1)(7-2)(7-3)=6\cdot 5\cdot 4=120,$$

$$p(-3)=(-3-1)(-3-2)(-3-3)=(-4)\cdot(-5)\cdot(-6)=-120.$$

Следовательно, $$p(7)\neq p(-3).$$

в) Вычислим сумму:

$$p(1{,}5)+p(2{,}5)=(1{,}5-1)(1{,}5-2)(1{,}5-3)+(2{,}5-1)(2{,}5-2)(2{,}5-3).$$

$$=0{,}5\cdot(-0{,}5)\cdot(-1{,}5)+1{,}5\cdot 0{,}5\cdot(-0{,}5)=0{,}375-0{,}375=0.$$

г) Проверим равенство:

$$p(5)=(5-1)(5-2)(5-3)=4\cdot 3\cdot 2=24,$$

$$4p(4)=4\cdot(4-1)(4-2)(4-3)=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24.$$

Значит, $$p(5)=4p(4).$$

Ответ: а) $$p(4)\neq 0$$; б) $$p(7)\neq p(-3)$$; в) $$p(1{,}5)+p(2{,}5)=0$$; г) $$p(5)=4p(4).$$