Упр.1.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Найдите приведённый многочлен $$p(x)$$ третьей степени, если $$p(0)=1$$, $$p(1)=2$$, $$p(2)=3$$.
   б) Найдите приведённый многочлен $$p(x)$$ третьей степени, если $$p(0)=p(1)=p(4)=0$$.

Пусть $$p(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0.$$

а)

Из условия $$p(0)=1$$ получаем:

$$a_0=1.$$

Далее, из $$p(1)=2$$ имеем:

$$1+a_2+a_1+1=2,$$

откуда

$$a_1+a_2=0.$$

Из условия $$p(2)=3$$:

$$8+4a_2+2a_1+1=3,$$

$$4a_2+2a_1=-6,$$

$$2a_2+a_1=-3.$$

Так как $$a_1=-a_2,$$ то

$$2a_2-a_2=-3,$$

$$a_2=-3,\qquad a_1=3.$$

Следовательно,

$$p(x)=x^3-3x^2+3x+1.$$

б)

Так как $$p(0)=0,$$ то свободный член равен нулю, значит многочлен делится на $$x$$. Аналогично, из $$p(1)=0$$ и $$p(4)=0$$ следует, что корни многочлена: $$0, 1, 4.$$

Тогда

$$p(x)=x(x-1)(x-4).$$

Раскроем скобки:

$$p(x)=x(x^2-5x+4)=x^3-5x^2+4x.$$

Ответ

а) $$p(x)=x^3-3x^2+3x+1$$;

б) $$p(x)=x^3-5x^2+4x$$.