Упр.1.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Найдите многочлен $$p(x)$$ второй степени, если $$p(0)=-1$$, $$p(1)=2$$, $$p(2)=3$$.
   б) Найдите приведённый многочлен $$p(x)$$ второй степени, если $$p(-2)=3$$, $$p(-2{,}5)=8$$.

Пусть $$p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0.$$

а)

Из условия $$p(0)=-1$$ получаем:

$$a_0=-1.$$

Из условия $$p(1)=2$$:

$$a_2+a_1+a_0=2,$$

$$a_2+a_1-1=2,$$

$$a_2+a_1=3.$$

Из условия $$p(2)=3$$:

$$4a_2+2a_1+a_0=3,$$

$$4a_2+2a_1-1=3,$$

$$4a_2+2a_1=4,$$

$$2a_2+a_1=2.$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} a_2+a_1=3,\\ 2a_2+a_1=2. \end{cases}$$

Вычитаем первое уравнение из второго:

$$a_2=-1.$$

Тогда

$$a_1=3-(-1)=4.$$

Следовательно,

$$p(x)=-x^2+4x-1.$$

б)

Так как многочлен приведённый, то $$a_2=1$$ и

$$p(x)=x^2+a_1x+a_0.$$

Из условия $$p(-2)=3$$:

$$4-2a_1+a_0=3,$$

$$a_0=2a_1-1.$$

Из условия $$p(-2{,}5)=8$$:

$$6{,}25-2{,}5a_1+a_0=8.$$

Подставим $$a_0=2a_1-1$$:

$$6{,}25-2{,}5a_1+2a_1-1=8,$$

$$5{,}25-0{,}5a_1=8,$$

$$-0{,}5a_1=2{,}75,$$

$$a_1=-5{,}5.$$

Тогда

$$a_0=2\cdot(-5{,}5)-1=-12.$$

Значит,

$$p(x)=x^2-5{,}5x-12.$$

Ответ

а) $$p(x)=-x^2+4x-1$$; б) $$p(x)=x^2-5{,}5x-12$$.