Упр.1.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Разложите многочлен на линейные множители: а) $$x^5-4x^4+14x^2-17x+6$$; б) $$x^5-x^4-5x^3+x^2+8x+4$$; в) $$x^4-6x^3+13x^2-12x+4$$; г) $$x^8-x^7-5x^6+3x^5+9x^4-3x^3-7x^2+x+2$$.

Разложим каждый многочлен на линейные множители, подбирая целые корни по теореме о рациональных корнях и последовательно деля многочлен на найденные двучлены.

а)

Для многочлена $$x^5-4x^4+14x^2-17x+6$$ возможные целые корни: $$x=\pm1,\pm2,\pm3,\pm6.$$

Проверка показывает, что $$x=1$$ — корень, значит, многочлен делится на $$x-1$$. После последовательного деления получаем:

$$x^5-4x^4+14x^2-17x+6=(x-1)^3(x-3)(x+2).$$

б)

Для многочлена $$x^5-x^4-5x^3+x^2+8x+4$$ возможные целые корни: $$x=\pm1,\pm2,\pm4.$$

Проверка даёт корень $$x=-1$$, причём он кратный. После деления получаем:

$$x^5-x^4-5x^3+x^2+8x+4=(x+1)^3(x-2)^2.$$

в)

Для многочлена $$x^4-6x^3+13x^2-12x+4$$ возможные целые корни: $$x=\pm1,\pm2,\pm4.$$

Последовательное деление показывает, что $$x=1$$ и $$x=2$$ — корни кратности 2. Поэтому

$$x^4-6x^3+13x^2-12x+4=(x-1)^2(x-2)^2.$$

г)

Для многочлена $$x^8-x^7-5x^6+3x^5+9x^4-3x^3-7x^2+x+2$$ возможные целые корни: $$x=\pm1,\pm2.$$

После последовательного выделения множителей получаем:

$$x^8-x^7-5x^6+3x^5+9x^4-3x^3-7x^2+x+2=(x+1)^4(x-1)^3(x-2).$$

Ответ

а) $$\,(x-1)^3(x-3)(x+2)\,;$$ б) $$\,(x+1)^3(x-2)^2\,;$$ в) $$\,(x-1)^2(x-2)^2\,;$$ г) $$\,(x+1)^4(x-1)^3(x-2).$$