Упр.1.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите целые корни многочлена; в ответе укажите множество целых корней многочлена и кратность всех его целых корней, если эти кратности больше 1:
   а) $$x^3 — 4x^2 + x + 6$$;
   б) $$x^4 + 5x^2 — 6$$;
   в) $$x^4 — 2x^3 — 6x^2 + 5x + 2$$;
   г) $$x^6 + x^5 — 10x^4 — 12x^3 + 19x^2 + 35x + 14$$.

а) Проверим целые делители свободного члена $$6$$: $$\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6.$$

Подходит число $$-1$$:

$$(-1)^3-4(-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0.$$

Значит, $$x+1$$ — множитель многочлена. Делим и получаем:

$$x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x^2-5x+6)=(x+1)(x-2)(x-3).$$

Целые корни: $$-1,\ 2,\ 3.$$ Все они кратности $$1$$.

б) Рассмотрим уравнение:

$$x^4+5x^2-6=0.$$

Сделаем замену $$t=x^2$$. Тогда

$$t^2+5t-6=0,$$

$$D=5^2+4\cdot6=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{-5\pm7}{2}.$$

Отсюда $$t_1=1,\ t_2=-6.$$ Так как $$t=x^2\ge0$$, подходит только $$t=1$$:

$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm1.$$

Целые корни: $$-1,\ 1.$$ Кратности равны $$1$$.

в) Проверим число $$1$$:

$$1^4-2\cdot1^3-6\cdot1^2+5\cdot1+2=1-2-6+5+2=0.$$

Значит, $$x-1$$ — множитель. Делим многочлен на $$x-1$$:

$$x^4-2x^3-6x^2+5x+2=(x-1)(x^3-x^2-7x-2).$$

Теперь проверим $$x=-2$$:

$$(-2)^3-(-2)^2-7(-2)-2=-8-4+14-2=0.$$

Тогда

$$x^3-x^2-7x-2=(x+2)(x^2-3x-1).$$

Итак,

$$x^4-2x^3-6x^2+5x+2=(x-1)(x+2)(x^2-3x-1).$$

Целые корни: $$-2,\ 1.$$ Кратности равны $$1$$.

г) Проверим число $$-1$$:

$$(-1)^6+(-1)^5-10(-1)^4-12(-1)^3+19(-1)^2+35(-1)+14=0.$$

Значит, $$x+1$$ — множитель. Последовательно делим многочлен на $$x+1$$ три раза и получаем:

$$x^6+x^5-10x^4-12x^3+19x^2+35x+14=(x+1)^3(x^3-2x^2-7x+14).$$

Проверим число $$2$$:

$$2^3-2\cdot2^2-7\cdot2+14=8-8-14+14=0.$$

Тогда

$$x^3-2x^2-7x+14=(x-2)(x^2-7).$$

Итак,

$$x^6+x^5-10x^4-12x^3+19x^2+35x+14=(x+1)^3(x-2)(x^2-7).$$

Целые корни: $$-1$$, $$2$$. Корень $$-1$$ имеет кратность $$3$$, корень $$2$$ — кратность $$1$$.

Ответ

а) $$-1,\ 2,\ 3$$; б) $$-1,\ 1$$; в) $$-2,\ 1$$; г) $$-1$$ — кратность $$3$$, $$2$$.